東 華 大 學
《算法設計分析與綜合實踐》分析題作業
學生姓名：曹晨 學號：171310402
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作業題目
設計一個O(n² )時間的算法，找出由n個數組成的序列的最長單調遞增子序列。
- 解題過程（針對算法設計題）
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解題思路/算法設計思路。
記f(x)為ax結尾的最長遞增子序列的長度，那么答案就是max{f(x)}。
考慮比x小的每一個數k（0<=k<x）:我們把ax接在ak的后面，肯定能構造一個以ax結尾的上升子序列，長度比ak以結尾的上升子序列大1，
所以如果有ax>ak，那么f(x)可以取f(k)+1。
-
寫出算法描述（
算法描述如下：
1 #include <iostream>
2
3 using namespace std;
4
5 int LSI(int *a,int n)//計算最長遞增子序列的值的函數
6 {
7 int f[n];
8 for(int i=0;i<n;i++)
9 {
10 f[i]=1;
11 }//以a[i]結尾的最長單調子序列初始化為1，即它本身
12 for(int i=1;i<n;i++)
13 {
14 for(int j=0;j<i;j++)
15 {
16 if(a[j]<a[i])
17 {
18 f[i]=max(f[i],f[j]+1);
19 }//如果i前面j的值小於i的值，那么i的最長遞增子序列可以取k的最長遞增子序列的數值加1
20 }
21 }
22 int length=0;
23 for(int i=0;i<n;i++)
24 {
25 length=max(length,f[i]);
26 }//找到所有單調遞增子序列中的最大值
27 return length;//返回最長單調遞增子序列
28 }
29 int main()
30 {
31 int n;
32 cin>>n;//元素的個數
33 int a[n];
34 for(int i=0;i<n;i++)
35 {
36 cin>>a[i];
37 }//存放元素
38 cout<<LSI(a,n);//調用求最長遞增子序列的函數，並輸出該值
39 return 0;
40 }
輸入：8
1 5 3 4 6 9 7 8
輸出：
- 算法分析：
時間復雜度：
代碼中用到了一個兩個for循環的嵌套（第12行-第21行），所以時間復雜度為O(n² )。
空間復雜度：
代碼中申請了兩個n長度的數組，分別用來存放元素和在以第i個元素為結尾時最長遞增子序列的值，所以空間復雜度為O(n)。