動態規划-最長單調遞增子序列(dp)

最長單調遞增子序列

解題思想：動態規划

1.解法1(n2)

　狀態：d[i] = 長度為i+1的遞增子序列的長度

　狀態轉移方程：dp[i] = max(dp[j]+1, dp[i]);

   分析：最開始把dp數組初始化為1，然后從前往后考慮數列的元素，對於每個aj，如果a[i] > a[j]，就用dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)進行更新，再從dp數組中找出最大值即為結果

   舉例：abklmncdefg

　　　   dp[0] = 1; dp[1] = 2; dp[2] = 3; dp[3] = 4; dp[4] = 5; dp[5] = 6; dp[7] = 3; dp[8] = 4; dp[9] = 5; dp[10] = 6; dp[11] = 7;  最大值為7

　代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAX_N = 10005;
int n;
char a[MAX_N];
int dp[MAX_N];
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while(n--) {
        int ans = 0;
        fill(dp, dp+MAX_N, 1);
        cin >> a;
        int len = strlen(a);
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            for(int j = 0; j < i; j++) {
                if(a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            ans = max(ans, dp[i]);
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

2.解法2(n2)

　狀態：d[i] = 長度為i+1的遞增子序列中末尾的最小值(不存在就是INF)

　分析：最開始用INF初始化dp數組的值，然后從前往后考慮數列的元素，對於每個aj，如果i = 0或者a[j]  >= a[i]，使得a[j] = a[i]並且break出來，最后第一個dp數組中值為INF的下標即為結果

　舉例：abklmncdefg

　　　   a; ab; abk; abkl; abklm; abklmn; abclmn; abcdmn; abcden; abcdef; abcdefg; 第一個INF的下標為7　

　代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAX_N = 10005;
const int INF = 127;
int n;
char a[MAX_N];
char dp[MAX_N];
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while(n--) {
        fill(dp, dp+MAX_N, INF);
        cin >> a;
        int len = strlen(a);
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                if(!i || dp[j] >= a[i])  {
                    dp[j] = a[i]; break;
                }
            }
        }
        int ans = 0;
        while(dp[ans] != INF) ans++;
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

3.解法3(nlogn)

　分析：思路與解法2一樣，但是解法2可以進一步優化，在解法2中dp數組是單調遞增的，每次要從頭到尾找到第一個大於等於a[i]的值，這是o(n2)的，既然是順序的可以使用二分查找進行改進，

　　　　這樣可以在o(nlogn)時間內求出結果，這里利用到了STL中的lower_bound(dp, dp + n, a[i])，找出dp數組中大於等於a[i]的最小的指針，upper_boundlower_bound(dp, dp + n, a[i])，找出dp數組中大於a[i]的最大的指針

   代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX_N = 10005;
const int INF = 127;
int n;
char a[MAX_N];
char dp[MAX_N];
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while(n--) {
        fill(dp, dp+MAX_N, INF);
        cin >> a;
        int len = strlen(a);
        for(int i = 0; i < len; i++) {
            *lower_bound(dp, dp+len, a[i]) = a[i];
        }
        cout << lower_bound(dp, dp+len, INF) - dp << endl;
    }
    return 0;
}