設函數 $f(x)$ 在區間 $I$ 上有定義，在 $I$ 內任取兩點 $x_{1},x_{2}$，對任意的 $\lambda \in (0,1)$，有 $\lambda x_{1} + (1-\lambda )x_{2} \in (x_{1},x_{2})$。
$A_{1}$ 點坐標 $(x_{1},f(x_{1}))$，$A_{2}$ 點坐標 $(x_{2},f(x_{1}))$，$A$ 點坐標 $(x,f(x))$，於是可以求得
$$y_{B} = \frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}f(x_{1}) + \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}f(x_{2})$$
令 $\lambda = \frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}$，則
$$y_{B} = \lambda f(x_{1}) + (1-\lambda )f(x_{2})$$
易推出
$$x = \lambda x_{1} + (1-\lambda )x_{2}$$
結合圖像有
$$y_{A} < y_{B}$$
所以
$$f(x) \leq \frac{x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}f(x_{1}) + \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}f(x_{2})$$
即
$$f[\lambda x_{1} + (1-\lambda )x_{2}] \leq \lambda f(x_{1}) + (1-\lambda )f(x_{2}),\lambda \in (0,1)$$
當 $x_{1} \rightarrow x_{2}$，上式等號成立。
滿足這個性質的函數稱為凹函數，凸函數的定義與此類似，不在贅述。