抽象函數的圖象平移對稱

前言

典例剖析

已知函數\(f(2x+1)\)是奇函數，則函數\(y=f(2x)\)的圖像成中心對稱的點是【\(\qquad\)】

$A.(1,0)$ $B.(-1,0)$ $C.(\cfrac{1}{2},0)$ $D.(-\cfrac{1}{2},0)$

分析：函數\(f(2x+1)\)是奇函數，則其對稱中心為\((0,0)\)，

而將\(f(2x+1)\)的圖像向右平移 \(\cfrac{1}{2}\) 個單位得到函數\(f(2x)\)平移的本質是，用\(x\)\(-\)\(\cfrac{1}{2}\)替換\(f(2x+1)\)中的\(x\)后整理得到\(f(2x)\)，，

即將\((0,0)\)向右平移 \(\cfrac{1}{2}\)個單位后得到\(f(2x)\)的對稱中心為點\((\cfrac{1}{2},0)\) ，

故選\(C\)。

【2019石家庄模擬】若函數\(y=f(x)\)的圖像恆過點\((1,1)\)，則函數\(y=f(4-x)\)的圖像一定經過點_________。

分析：將函數\(y=f(x)\)的圖像關於\(y\)軸對稱得到函數\(y=f(-x)\)，

故\(y=f(-x)\)一定經過點\((-1,1)\)，

再將函數\(y\)\(=\)\(f(-x)\)的圖像向右平移\(4\)個單位平移的本質是，用\(x\)\(-\)\(4\)替換\(y\)\(=\)\(f(-x)\)中的\(x\)后，整理得到\(y\)\(=\)\(f[-(x-4)]\)\(=\)\(f(4-x)\)，，

得到函數\(y=f(4-x)\)的圖像，故函數\(y=f(4-x)\)的圖像一定經過點\((3,1)\).