含有三角函數的積分

1. \[\begin{aligned}&\int \sin ax\sin bxdx=-\dfrac{\sin \left( a+b\right) x}{2 \left( a+b\right) }+\dfrac{\sin \left( a-b\right) x}{2 \left( a-b\right) }+C\\ &\int \cos ax\cos bxdx=\dfrac{\sin \left( a+b\right) x}{2 \left( a+b\right) }+\dfrac{\sin \left( a-b\right) x}{2 \left( a-b\right) }+C\\ &\int \sin ax\cos bxdx=-\dfrac{\cos \left( a+b\right) x}{2 \left( a+b\right) }-\dfrac{\cos \left( a-b\right) x}{2 \left( a-b\right) }+C\end{aligned} \]

   積化和差

2. \[\int\mathrm{e}^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}\mathrm{e}^{ax}+C\\ \int\mathrm{e}^{ax}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{(b\sin bx+a\cos bx)}{a^2+b^2}\mathrm{e}^{ax}+C \]

   證明式2.1

   令：

   \[\begin{cases}u=\sin bx，v'=\mathrm{e}^{ax}\\u'=b\cos bx，v=\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}\end{cases} \]

   所以：

   \[原式=\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}\sin bx-\frac{b}{a}\int \mathrm{e}^{ax}\cos bx\mathrm{d}x \]

   再令：

   \[\begin{cases}u=\cos bx，v'=\mathrm{e}^{ax}\\u'=-b\sin bx，v=\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}\end{cases} \]

   所以：

   \[原式=\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}\sin bx-\frac{b}{a}\left[\frac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}\cos bx-\left(-\frac{b}{a}\right)\int \mathrm{e}^{ax}\sin bx\mathrm{d}x\right] \]

   整理得：

   \[\int\mathrm{e}^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}\mathrm{e}^{ax}+C \]