指數函數

目錄

1. 基本概念
2. python畫圖
3. 基本性質
4. 運算法則

 

一、基本概念

細胞的分裂是一個很有趣的現象，新細胞產生的速度之快是十分驚人的。例如，某種細胞在分裂時，1個分裂成2個，2個分裂成4個……因此，第x次分裂得到新細胞數y與分裂次數x的函數關系式即為：

指數函數是重要的基本初等函數之一。

一般地，y = a^x  函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是 R ，值域為(0， +∞)， 注意，在  a^x 前的系數必須是數1，自變量x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式，否則，就不是指數函數 。

如： y = 10^x , y=π^x ,....都是指數函數；注意：y=3 * 2^{x 指數函數前系數為3，不是指數函數}

指數函數是數學中重要的函數。應用到值e上的這個函數寫為exp(x)。還可以等價的寫為 e^x  ，這里的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還稱為歐拉數 

 

二、python畫圖

 

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import stats

x=np.linspace(-2,2, 500,dtype=float)
y=np.power(2,x)
y1=np.power(0.5,x)
y2=np.power(3,x)
y3=np.power(0.3,x)
plt.plot(x,y,color='r',label='a=2')
plt.plot(x,y1,color='g',label='0=0.5')
plt.plot(x,y2,color='y',label='a=3')
plt.plot(x,y3,color='b',label='a=0.3')

plt.legend(loc='upper right')#把圖例放在右上角
plt.show()

 

 

 

 再畫一下以e為底的指數

x=np.linspace(-3,3, 500,dtype=float)
y=np.power(np.e,x)
plt.plot(x,y,label='a=e')

 

 

 圖像特征：

(1)由指數函數y=a^x   (a>0) 與直線x=1相交於點（1，a)可知：在y軸右側，圖像從下到上相應的底數由小變大

(2)由指數函數y=a^x   (0<a<1) 與直線x=-1相交於點（-1，1/a）可知：在y軸左側，圖像從下到上相應的底數由大變小。

(3)指數函數的底數與圖像間的關系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。（如右圖）

(4)y=a^x 於 y=(1/a)^x  的圖像關於y軸對稱 

 

三、基本特征

基本性質如下：

（1） 指數函數的定義域為R，這里的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等於0函數無意義一般也不考慮。
（2） 指數函數的值域為(0， +∞)。
（3） 函數圖形都是上凹的。
（4） a>1時，則指數函數單調遞增；若0<a<1，則為單調遞減的。
（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中（不等於0）函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
（6） 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,並且永不相交。
（7） 函數總是通過（0，1）這點。

（8） 指數函數無界。
（9）指數函數是非奇非偶函數
（10）指數函數具有反函數，其反函數是對數函數。

 

四、運算法則