計算指數函數的算法

引言

我在上一篇隨筆中介紹了計算自然對數的快速算法。現在我們來看看計算指數函數的算法。我們知道，指數函數 e^x 可以展開為泰勒級數：

這個級數對全體實數 x 都收斂，並且在 x 接近零時收斂得比較快。

實現該算法的 C# 程序

根據前面所述的 e^x 的泰勒級數展開式，可以寫出以下 C# 程序來為 decimal 數據類型添加一個 Exp 擴展方法：

using System;

namespace Skyiv.Extensions
{
  static class DecimalExtensions
  {
    static readonly decimal expmax = 66.542129333754749704054283659m;
    static readonly int[] mask = { 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 };
    static readonly decimal[] exps =
    {
      2.71828182845904523536028747135m, // exp(1)
      7.38905609893065022723042746058m, // exp(2)
      54.5981500331442390781102612029m, // exp(4)
      2980.95798704172827474359209945m, // exp(8)
      8886110.52050787263676302374078m, // exp(16)
      78962960182680.6951609780226351m, // exp(32)
      6235149080811616882909238708.93m  // exp(64)
    };
    
    public static decimal Exp(this decimal x)
    {
      if (x > expmax) throw new OverflowException("overflow");
      if (x < -66) return 0;
      var n = (int)decimal.Round(x);
      if (n > 66) n--;
      decimal z = 1, y = Exponential(x - n);
      for (int m = (n < 0) ? -n : n, i = 0; i < mask.Length; i++)
        if ((m & mask[i]) != 0) z *= exps[i];
      return (n < 0) ? (y / z) : (y * z);
    }
    
    static decimal Exponential(decimal q)
    { // q (almost) in [ -0.5, 0.5 ]
      decimal y = 1, t = q;
      for (var i = 1; t != 0; t *= q / ++i) y += t;
      return y;
    }
  }
}

簡要說明如下：

1. 第 7 行的 expmax 的值是 decimal.MaxValue 的自然對數的近似值，用於檢測 Exp 方法是否溢出(第 22 行)。
2. 第 20 至 30 行的 Exp 擴展方法就是用來計算指數函數了。
3. 該方法利用 e^x+y = e^xe^y 這個公式，將參數 x 分為整數部分 n 和小數部分 x - n 來計算。
4. 整數部分 n 又分解為 1、2、4、8、16、32、 64 諸數中某些的和，利用事先計算出來的常量來計算。
5. 第 25 行是為了防止將 e^66.5421 分解為 e⁶⁷e^-0.4579，這樣在計算 e⁶⁷ 時會溢出。而是分解為 e⁶⁶e^0.5421。
6. 第 32 至 37 行的 Exponential 方法使用泰勒級數來計算 e^x 。它的參數 q 越接近於零就計算得越快。
7. 這個算法還是很快的，第 35 行的 for 循環執行次數不會超過 22 次。

測試程序

下面就是調用 decimal 數據類型的 Exp 擴展方法的測試程序：

using System;
using Skyiv.Extensions;

class Tester
{
  static void Main()
  {
    try
    {
      foreach (var x in new decimal[] {
        -100, -66, -65, -1, 0, 1, 2.5m, 16, 66.5421m, 67 })
        Console.WriteLine("{0,-30}: exp({1})", x.Exp(), x);
    }
    catch (Exception ex) { Console.WriteLine(ex.Message); }
  }
}

運行結果如下所示：

work$ dmcs Tester.cs DecimalExtensions.cs
work$ mono Tester.exe
0                             : exp(-100)
0.0000000000000000000000000000: exp(-66)
0.0000000000000000000000000001: exp(-65)
0.3678794411714423215955237702: exp(-1)
1                             : exp(0)
2.7182818284590452353602874714: exp(1)
12.182493960703473438070175950: exp(2.5)
8886110.520507872636763023741 : exp(16)
79225838488862236701995526357 : exp(66.5421)
overflow

可以看出，在計算 e⁶⁷ 時發現了溢出。這是因為：

• decimal.MaxValue = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,335
• e⁶⁷ = 125,236,317,084,221,378,051,352,196,074.4365767534885274 ...

可以看出，e⁶⁷ 已經超過 decimal 的最大值了。

事先計算的常數

在 DecimalExtensions.cs 程序的第 9 至 18 行中的 exps 靜態只讀數組中存放了 e¹、e²、e⁴、e⁸、e¹⁶、e³² 和 e⁶⁴ 的值。這些值是如何得到的呢？這很簡單，Linux 操作系統中有一個高精度計算器 bc 。我們可以先編輯一個如下內容的文本文件 exps_in.txt：

scale=30
e(1)
e(2)
e(4)
e(8)
e(16)
e(32)
e(64)
l(2^96-1)
quit

上面的 e 代表 exp，l 代表 ln，2⁹⁶ - 1 就是 decimal.MaxValue。然后執行以下命令：

work$ bc -l exps_in.txt > exps_out.txt

就可以得出如下內容的輸出 exps_out.txt：

2.718281828459045235360287471352
7.389056098930650227230427460575
54.598150033144239078110261202860
2980.957987041728274743592099452888
8886110.520507872636763023740781450350
78962960182680.695160978022635108224219956195
6235149080811616882909238708.928469744831391846235799914388
66.542129333754749704054283659972

稍加整理，就可以用在上述 C# 程序中了：

• 前 7 行就是 e 的各次冪。
• 最后一行就是 decimal.MaxValue 的自然對數。

參考資料

1. Wikipedia: Exponential function
2. Wikipedia: Taylor series
3. Linux man pages: bc - An arbitrary precision calculator language