前言
【MIT公開課】多重變量微積分 p17學習筆記（二重積分）
極坐標基礎
元
半徑 $r$ 和角度 $\theta$.
$\left \{\begin{matrix}x = r \cos\theta \\y = r \sin\theta\end{matrix} \right. $.
視覺理解（誇大化）
微小面積由一般的網格$\mathrm{d}y\cdot \mathrm{d}x$變為了如圖扇環面積。
注意：量取$r\Delta\theta$時考慮的是“內側”的邊長，但內外側在極小情況下等價。
微元，看作矩形求解
$\mathrm{d}s = x\cdot y= (\Delta r) \cdot (r\Delta\theta)=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$.
極坐標積分過程
給出函數
$f = 1-x^2-y^2$
轉換到極坐標
$\begin{matrix}f = 1-{(r\cos\theta)}^2-{(r\sin\theta)}^2\\f=1-2r^2 \end{matrix}$
添加微元，開始積分
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }\int_{0}^{1}(1-r^2)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta $
（未寫出原題目）
計算得到答案
$\frac{\pi}{8}$.
技巧
一般先對$r$積分，在給定的$\theta$情況下找出區域$r$的上下限。
思考（奇怪的點）
為什么極坐標的二重積分只是計算“面積”而不是一般二重積分的“體積”？
二重積分實際上指的是兩個方向（元）的信息的積分。事實上面積，體積，質量都可以變成二重積分。之前我們對於二重積分的體積直覺其實是固定了一個方向的積分（直線邊界）。想到這個問題說明對二重積分有了比較深刻的認識。
引出二重積分的應用：
1. 求面積
計算整個區域面積微元$\mathrm{d}s$的總和：
$S(R)=\int\int_{R}1\mathrm{d}s$
原理：將1想象為高，$\mathrm{d}s$積分則為面積，此情況下體積與面積數值相等
2. 求平面物體的質量
密度乘以面積，密度可能不均勻。
$\left\{\begin{matrix} \Delta m=\rho\cdot\Delta S\\M=\int\int_R\rho\cdot \mathrm{d}S\end{matrix}\right.$
3. 求區域平均值（等權平均值）
思想：對集合進行積分，再除以集合的大小
$\bar{f} =\frac{1}{Area(R)} \int\int_Rf\mathrm{d}S$
4. 加權平均值
與質量代替面積思維方式類似。
$\bar{f'} =\frac{1}{Mass(R)} \int\int_Rf\rho \mathrm{d}S $
這里的$\rho$就可以理解為權重（密度），除以總權（總質量）就可以求得加權平均值。
5. 物理學
將物體等效於重心。力學角度下，物體與重心等價。
后面的應用都與物理有關。。。我考慮一下放在大學物理分類里面