設函數 $z = f(x,y)$ 在有界閉區域 $D$ 上有界，將 $D$ 任意分成 $n$ 個小閉區域 $\Delta \sigma _{i},i=1,2,3,...,n$，$\Delta \sigma _{i}$ 表示第 $i$ 個子區域的面積，
在 $\Delta \sigma _{i}$ 上任取一點 $(\xi_{i},\eta_{i})$，做和
$$\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})\Delta \sigma _{i}$$
記 $\lambda$ 為 $n$ 個小區域的最大直徑。
當分割越來越“精細”的時候，即 $\lambda \rightarrow 0,n\rightarrow +\infty$，分割后的子區域圍成的圖形就接近長方體，考慮式子
$$\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})\Delta \sigma _{i}$$
如果這個極限存在，且該極限值與區域 $D$ 的分法及 $(\xi_{i},\eta_{i})$ 的取法無關，則稱此極限為函數 $f(x,y)$ 在區域 $D$ 上的二重積分，記為
$$\iint_{D}^{}f\left ( x,y \right )d\sigma = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})\Delta \sigma _{i} = \sum_{i=1}^{+\infty}f(\xi _{i},\eta _{i})\Delta \sigma _{i}$$
$\bullet$ 積分形式和累加形式做一個比較：
1）$d\sigma$ 和 $\Delta \sigma$ 都是無窮小量，且都是標量，表示小閉區域的面積，無限趨於 0。$d\sigma = dxdy$，$dx$ 和 $dy$ 是被分割后小閉區域的長和寬，都是標量，
乘積就是物理意義上的面積。
2）$x$ 和 $y$ 是積分變量，相當於 $\xi$ 和 $\eta$。$D$ 無窮分割后，在每個小長方體的底面上可以任取一點，用以計算對應函數值 $f(x,y)$。極限情況下，
$(x,y)$ 取遍 $D$ 內的每一個點，所以通過 $x$ 和 $y$ 或 $\xi$ 和 $\eta$ 可以確定積分區域。
3）符號 $\iint_{D}^{}$ 表示在區域 $D$ 上極限求和，它不僅表示無窮項求和，還限定了積分區域，不同於定積分，二重積分只能夠正向積分，即積分下限必須
小於積分上限。而 $\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n} = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{\infty}$ 只是表示量級是無窮項累加，並不知道是哪個區域。
$\bullet$ 二重積分的幾何意義：若 $\iint_{D}^{}f\left ( x,y \right )d\sigma$ 存在，因為積分區間只能是正向的，所以只需考慮被積函數 $f(x,y)$ 的正負。當 $f(x,y)\geq 0$ 時，
積分值是以 $D$ 為底，以曲面 $z = f(x,y)$ 為頂的曲頂柱體的體積。
$\bullet$ 二重積分的計算：需要轉化為定積分進行計算。
$$\iint_{D}^{}f\left ( x,y \right )d\sigma = \iint_{D}^{}f\left ( x,y \right )dxdy = \iint_{D}^{}f\left ( x,y \right )dydx$$
我們需要確定積分變量 $x$ 和 $y$ 各自的積分區間，換句話說，即確定 $x$ 和 $y$ 各自的約束條件，使其能構成區域 $D$，然后確定積分的先后順序。
需要注意的是，先積分的變量(如先對 $x$ 積分)積分完成后，該變量就不存在了，第二次積分的被積函數只是關於 $y$ 的函數，所以
a. 先積分的變量的積分限是關於另一個積分變量的函數，即該坐標正方向上邊界曲線函數。
b. 后積分變量的積分限是不含任何積分變量的常量，是邊界最值，不然二重積分的結果就含有積分變量了。
下面進一步講述如何確定積分限：無論是哪個坐標系，對誰積分，就向它的正方向畫線，得到線所穿過的邊界曲線函數或邊界最值。
1）利用直角坐標系計算
a. 先 $y$ 后 $x$
i. 往 $y$ 軸正方向畫條線，穿過邊界曲線 $y = \varphi _{1}(x),y = \varphi _{2}(x)$。
ii. 往 $x$ 軸正方向畫條線，確定坐標左右界(最值)，即兩個常數 $x = a,x = b$。
$$\iint_{D}^{}f(x,y)dxdy = \int_{a}^{b}\int_{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}f(x,y)dxdy = \int_{a}^{b}[\int_{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}f(x,y)dy]dx = \int_{a}^{b}dx\int_{\varphi _{1}(x)}^{\varphi _{2}(x)}f(x,y)dy$$
b. 先 $x$ 后 $y$
i. 往 $x$ 軸正方向畫條線，穿過邊界曲線 $x = \phi _{1}(y),x = \phi _{2}(y)$。
ii. 往 $y$ 軸正方向畫條線，確定坐標上下界(最值)，即兩個常數 $y = c,y = d$。
$$\iint_{D}^{}f(x,y)dxdy = \int_{c}^{d}\int_{\phi_{1}(y)}^{\phi_{2}(y)}f(x,y)dxdy = \int_{c}^{d}[\int_{\phi _{1}(y)}^{\phi _{2}(y)}f(x,y)dx]dy = \int_{c}^{d}dy\int_{\phi _{1}(y)}^{\phi _{2}(y)}f(x,y)dx$$
2）利用極坐標計算
極坐標方法一般采用先 $\rho$ 后 $\theta$ 順序進行積分。
i. 從極點開始畫射線，穿過邊界曲線 $\rho = \rho _{1}(\theta ), \rho = \rho _{2}(\theta )$。
ii. 往逆時針方向畫圓弧線，確定角度的邊界(最值)，即$\theta =\alpha ,\theta =\beta $。
$$\iint_{D}^{}f(x,y)dxdy = \int_{\alpha }^{\beta }\int_{\rho _{1}(\theta )}^{\rho _{2}(\theta )}f(\rho cos\theta ,\rho sin\theta )\rho d\rho d\theta = \int_{\alpha }^{\beta }d\theta\int_{\rho _{1}(\theta )}^{\rho _{2}(\theta )}f(\rho cos\theta ,\rho sin\theta )\rho d\rho$$