1. 計算$\iiint_{V}xyz(1-x-y-z)^{2}dxdydz$, $V$是由$x>0,y>0,z>0,x+y+z<1$所確定的有界區域.
2. 設$f(x,y)$是$\mathbb{R}^{2}$上的連續函數, 試交換累次積分
\begin{equation*}
\int_{-1}^{1}dx\int_{x^{2}+x}^{x+1}f(x,y)dy
\end{equation*}
的積分次序.
3. 作適當變量替換計算積分
(1). $I=\iint_{D}\frac{3x}{x^{2}+xy}dxdy,$ 其中$D$為平面曲線$xy=1,xy=3, y^{2}=x, y^{2}=3x$ 所圍成的有界閉區域.
(2). $K=\iint_{D}f(x,y)dxdy,$ 其中$D$由曲線$xy=1, xy=2, y=x, y=4x, (x>0, y>0)$所圍成的區域.
(3). $L=\iint_{D}\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}}$, 其中$D$由$x$軸, $y=x,\sqrt{x}+\sqrt{y}=1, \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$圍成的有界閉區域.
4. 計算積分
\begin{equation*}
I=\iint_{D}\frac{1}{xy}\,dxdy,
\end{equation*}
其中$D$是由
$$2\leq \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\leq 4;\,\,2\leq \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\leq 4$$
確定的有界閉區域.
5. 設$x=x(u,v),y=y(u,v)$有連續偏導數,一一對應地將區域$D'$映到$xy$平面上的區域$D$, 滿足雅可比行列式$\frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}\neq 0$,且
\begin{equation*}
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial v},\,\,\frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{\partial y}{\partial u}.
\end{equation*}
試證:
\begin{equation*}
\iint_{D}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}dxdy=\iint_{D'}\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)^{2}dudv.
\end{equation*}
6. (1). 計算積分$A=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left|xy-\frac{1}{4}\right|dxdy.$
(2). 設$z=f(x,y)$在閉區域$D: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1$上連續,且滿足下列條件
$$\iint_{D}f(x,y)dxdy=0,\,\,\iint_{D}xyf(xy)dxdy=1.$$
證明存在$(\xi,\eta)\in D$使得$|f(\xi,\eta)|\geq A^{-1}.$ 此$A$為6(1)中的積分值.
7. 計算三重積分
\begin{equation*}
H=\iiint_{D}\frac{xyz}{\sqrt{a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}y^{2}}}dxdydz,
\end{equation*}
其中$D$是由$x,y,z\geq 0, x^2+y^2+z^2\leq R^2$確定的有界閉區域, $a>b>c>0.$
8. 求極限
$$\lim_{R\to \infty}\iint_{|x|\leq R,\,\,|y|\leq R}(x^{2}+y^{2})e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy$$
提高題(9-12題中至少選一題):
9. 設$H(x)=\sum_{i,j=1}^{3}a_{ij}x_{i}x_{j},$ 其中$A=(a_{ij})$是3階正定對稱矩陣, 求
\begin{equation*}
I=\iiint_{H(x)\leq 1}e^{\sqrt{H(x)}}\,\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}.
\end{equation*}
10. 計算三重積分
$$I=\iiint_{V}\cos(ax+by+cz)dxdydz,$$
其中$V:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1, a,b,c$是不全為零的常數.
11. 設$\sum_{i,j=1}^{3}a_{ij}x_{i}x_{j}$表示變量為$(x_{1},x_{2},x_{3})$的二次型, 其系數矩陣$A=(a_{ij})$為正定對稱陣, 證明橢球面$S:\sum_{i,j=1}^{3}a_{ij}x_{i}x_{j}=1 $所包圍的體積為$\frac{4\pi}{3}\sqrt{\det A}$, $\det A$表示$A$的行列式.
12. 計算積分
$$I=\iiiint_{D}e^{(Ax,x)}\,\,dx_{1}dx_{2}dx_{3}dx_{4},$$
其中$(Ax,x)=\sum_{i,j=1}^{4}a_{ij}x_{i}x_{j}$是正定二次型, $D$是$(Ax,x)\leq 1$所圍成的有界區域.
應用題(13-15題中至少選一題):
13. 假定物體有連續的密度函數, 證明凸形物體的質心必在其體內.
14. 半徑為$R$的均勻圓盤, 其密度為$\mu$, 過圓心且與圓垂直的直線上有一密度為$\rho$的均勻細棒, 棒長為$l$, 其近圓盤的一端與圓心相距為$a$,求圓盤對棒的引力.
15. 在研究流行病的傳播時,假設患病者將疾病傳染給健康者的概率是兩者之間距離的函數. 現考慮一個半徑10km的圓形城市, 假設城中的人口和患病都是均勻分布的(每$km^{2}$有$k$名患者), 又設$A$點處的健康者被位於點$P$處的患病者傳染的概率為
$$f(P)=\frac{20-d(P,A)}{20}$$
其中$d(P,A)$為$P$點與$A$點之間的距離.
(a). 假設位於點$A$處的居民被傳染上該病的概率(稱為被感染率)等於城市中所有患者將疾病傳染給他的概率之和. 試用二重積分表達該居民的被感染率.
(b). 計算居住在城市中心的居民和居住在城市邊緣處的居民的被感染率分別是多少？兩者比較住在哪較為安全？