單變量微積分筆記25——弧長和曲面面積

　　積分的概念來源於實際應用。對一個函數積分可以理解為求曲線下的面積，但積分的作用不僅僅如此。作為牛頓一生最偉大的發明，有了積分，我們就可以去計算曲線的弧長，可以去求區域的面積，也可以去計算很多物理問題。

弧長

弧長的定義

　　曲線上兩點之間的曲線長度稱為弧長，現在我們試圖用積分定義弧長。

　　將上圖的曲線分為n段，用直線連接相鄰的兩點，當Δx→0時，兩點間的線段長度趨近於弧長：

　　將s定義為弧長，則：

 

　　用微分表示上式，可以去掉約等號：

　　習慣上，上式去掉括號：

　　其它兩種常見的變形：

 

　　由此得到a、b兩點間弧長的表達式：

 

線性函數的弧長

　　如果有曲線y = mx，則y’ = m，  ，曲線在0 ≤ x ≤ 10處的弧長：

 

　　如上圖所示，可以拋開積分直接計算兩點間的弧長，其結果和積分運算相等。對於這個例子來說，結果是顯然的，但是其表達的含義是：如果我們能對線性函數推導出這些公式，那么微積分也能告訴我們應該怎么做。微積分的思想就存在於這個簡單的，甚至不需要微積分計算的過程中。所有這些工具，微分、積分、極限，可以應對任何曲線，因為我們將曲線分割成了無限小，這就是建立積分的思想。

單位圓的弧長

　　計算下圖單位圓上的弧長s：

　　單位圓中：

　　根據弧長公式：

　　接下來就是求解積分的問題。

 

　　也可以寫成：a = sins

　　在單位圓中，弧長s = 弧長夾角θ，a = rsinθ = sinθ，上面的計算結果與定義相同。

  

拋物線的弧 

　　求曲線y = x²在x∈[0, a]上的弧長。

 

　　接下來是求解積分問題，令x = tanθ/2　

　　令u = secθ， v’ = sec²θ， v = tanθ,  u’ = secθtanθ

　　最終弧長：

曲面面積

求解方法

　　曲線y = x²繞x軸旋轉一周，求在x在[0, a]上，立體圖形的外表面積。

 

　　圖形類似於喇叭口，可以使用圓盤法求解，只是將dx換成ds，上圖中圓盤的表面積：

 

　　總面積：

 

　　這個復雜的積分還是交給計算機吧。

球面面積

　　可以將球看作為半徑為a的半圓y² + x² = a²繞x軸旋轉一周形成的圖形，計算x在[x₁, x₂]處形成圓盤的球面面積：

  

　　整個球體的表面積：

 

　　結果與球體表面積公式一致。

綜合示例

示例1

　　計算y = x^3/2在0 ≤ x ≤ 4處的弧長。

 

y = x^3/2

 

示例2

　　如下圖所示，求圓心為R，半徑為r的圓繞y軸旋轉一周形成的環的表面積

　　由於是繞y軸旋轉，表面積的微分是da = 2πxds，接下來就是如何求解ds和da的積分。

　　上半圓的表面積：

 

　　又是求解積分的問題了，令u = x - R

 

　　令u = rsint，du = rcostdt；u的取值范圍是[r, -r]，所以t的取值范圍是[π/2, -π/2]

 

 

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