將參數方程化為直角坐標方程,及其在直角坐標系下的積分


常見參數方程

曲線的極坐標參數方程ρ=f(t),θ=g(t)。

圓的參數方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ(θ∈ [0,2π) ) (a,b) 為圓心坐標,r 為圓半徑,θ 為參數,(x,y) 為經過點的坐標

橢圓的參數方程 x=a cosθ  y=b sinθ(θ∈[0,2π)) a為長半軸長 b為短半軸長 θ為參數 [2] 

雙曲線的參數方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a為實半軸長 b為虛半軸長 θ為參數

拋物線的參數方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦點到准線的距離 t為參數

直線的參數方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直線經過(x',y'),且傾斜角為a,t為參數

 

 

參數方程化為直角坐標方程的過程就是消參過程,常見方法有三種:

①代入法:利用解方程的技巧求出參數t,然后代入消去參數;

②三角法:利用三角恆等式消去參數;

③整體zhidao消元法:根據參數方程專本身的結構特征,從整體上消去。

 

 

參數方程在直角坐標系下的積分,可以將參數方程轉化為直角方程然后積分:例一;或者直接寫出直角坐標系下的積分式,然后用參數方程替代直角坐標系下的積分式和積分微元:例二;

2016數學二20題:

例一:

 

 

 

例二:

 

個人給出建議:用第二種方法,因為既然題目中給的是參數方程,那么一般情況下其直角坐標系下的方程用來計算不會太方便,即使轉換成功了也比較考驗積分能力。三角函數的積分因為有點火公式(華里士公式)的存在,變得相當簡單。

 


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