考研數學公式定理大總結
- 考研數學公式定理大總結
- 一、微積分部分
- 二 線性代數部分
- 高數部分補充
一、微積分部分
Part I 極限與連續
泰勒公式
任何可導函數 \(f(x)=\sum a_{n}x^{n}\)，
\(x\rightarrow 0\)時
- \(sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arcsinx=x+\frac{1}{6}x^{^{3}}+o(x^{^{3}})\)
- \(tanx=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arctanx=x-\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(cosx=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{4})\)
- \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+o(x^{3})(\left | x \leq 1\right |)\)
基本微分公式
-
\(({x^{n}})'=nx^{n-1}\)
-
\({(a^{x})}'=a^{x}lna\)
-
\({(e^{x})}'=e^{x}\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^{2}x\)
-
\({(cotx)}'=-csc^{2}x\)
-
\({(secx)}'=secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^{2}+1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
-
\(({ln(x+\sqrt{x^{2}-1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
常用等價無窮小
- \(x \rightarrow 0\)
- \(sin x \sim x\)
- \(arcsin x \sim x\)
- \(tan x \sim x\)
- \(arctan x \sim x\)
- \(e^{x} - 1 \sim x\)
- \(ln(1 + x) \sim x\)
- \((1 + x)^{\alpha } - 1 \sim \alpha x\)
- \(1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\)
函數極限定義
\(\lim \limits_{x \to x0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0, 當 0<\left | x-x0 \right |< \delta\) 時，有 \(\left | f(x)-A \right | < \epsilon\)
數列極限數列極限
n為自然數， n→\(\infty\),專指n→+\(\infty\),而略去"+"不寫
\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}x_{0}=A \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N>0, 當 n>N時，有 |x_{0}-A|<\epsilon\)
極限的性質
唯一性、局部有限性、局部保號性
極限的唯一性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，則A唯一\)
極限的局部有限性
$若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，則 \exists M>0, \delta>0,當0<|x-x_{0}|<\delta時,恆有|f(x)|< M $
極限的局部保號性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A>0,則x\rightarrow x_{0}時，f(x)>0\)
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A<0,則x\rightarrow x_{0}時，f(x)<0\)
函數極限計算三板斧
-
等價無窮小，泰勒公式，洛必達法則。
-
這個順序來源於楊超。
七種不定形
- \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty \cdot 0\), \(\infty \cdot \infty\), \(\infty^{0}\), \(0^{0}\), \(1^{\infty}\)
【注】 0不是真的0， 1不是真的1
洛必達法則
-
\(若\lim \limits_{x \to \*}f(x)=0,\lim \limits_{x \to \*}=0\), \(且\lim \limits_{x \to \*}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\exists , 則\lim \limits_{x \to \*}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to \*}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\)
-
隱含條件：f(x),g(x)都為無窮小量，都可導，導函數比值的極限存在
數列極限運算法則
- 若\(x_{n}\)易於連續化，轉化為函數極限計算
依據：
\(\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=A, 則\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(n)=A\) - 若\(x_{n}\)不易於連續化，用“夾逼准則”（或定積分定義）
- 若\(x_{n}\)由遞推式 \(x_{0}=f(x_{n-1})\) 給出，用“單調有界准則”
\(給出 x_{n},若 x_{n} 單增且有上界或者單減且有下界 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}x_{0} \exists \Leftrightarrow {x_{0}} 收斂\)
夾逼准則
它指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，則第三個函數在該點的極限也相同。
設\(I\)為包含某點\(a\)的區間，\(f,g,h\)為定義在\(I\)上的函數。若對於所有屬於\(I\)而不等於\(a\)的\(x\)，有：
\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，\(\lim \limits_{x \to a}g(x)=\lim \limits_{x\to a}h(x)=L\)；則\(\lim \limits_{x\to a}f(x)=L\)。
\(g(x)\)和\(h(x)\)分別稱為\(f(x)\)的下界和上界。\(a\)若在\(I\)的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於\(x \to \infty\)，這個定理還是可用的。
極限的連續與間斷的基本常識
任何初等函數在其定義區間內連續（只要見到的函數都是初等函數），故考研中只研究兩類特殊的點：
-
分段函數的分段點（可能間斷）
-
無定義點（必然間斷）
連續的定義
- \(若\lim \limits_{x \to x_{0}}f(x) = f(x_{0}), 則f(x)稱在x=x_{0}處連續\)
- Note：\(\lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)= \lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) 三者相等才連續\)
間斷的定義
- \(設f(x)在 x=x_{0}點的某去心領域有定義\)
- 1⃣️\(\lim \limits_{x \to x_{0^{+}}}f(x)\)
- 2⃣️\(\lim \limits_{x \to x_{0^{-}}}f(x)\)
- 3⃣️\(f(x)\)
-
第一類間斷點1⃣️2⃣️均存在，且
- \(1⃣️\neq2⃣️: x_{0}為跳躍間斷點\)
- \(1⃣️=2⃣️\neq 3⃣️: x_{0}為可去間斷點\)
-
第二類間斷點1⃣️2⃣️至少一個不存在（目前為止考研只考了1⃣️2⃣️均不存在）
- \(若不存在 = \infty \Rightarrow無窮間斷點\)
- \(若不存在 = 震盪 \Rightarrow 震盪間斷點\)
【Note】
- 單側定義不討論間斷性
- 若出現左右一邊是震盪間斷，一邊是無窮間斷，則我們應該分側討論
Part II 導數與微分
一元函數微分的定義
\(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} 記為{f}'(x_{0})\)
一元函數定義注意點
- 左右有別
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 右導數\)
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{-}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 左導數\)
- \(因此{f}'(x_{0})存在\Leftrightarrow {f}'_{-}(x_{0}={f}'_{+}(x_{0})\)
- 廣義化狗
- \(\triangle x \rightarrow (廣義化)狗\)
- \(\lim \limits_{狗 \to 0} \frac{f(x_{0}+狗)-f(x_{0})}{狗}\)
- 一靜一動
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}-\triangle x)}{2\triangle x}={f}'(x_{0})...就是典型錯誤\)
- 換元法
- \(換元法，令x_{0}+\triangle x =x \Rightarrow \lim \limits_{ x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}={f}'(x_{0})\)
基本求導公式
-
\({(x^a)}'=ax^{a-1}\)
-
\({(a^x)}'=a^xlna\)
-
\({(e^x)}'=e^x\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^2x\)
-
\({(cotx)}'=-cscx^2x\)
-
\({(secx)}'=-secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2+1}))}'=\frac{1}{x^2+1}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2-1}))}'=\frac{1}{x^2-1}\)
基本求導方法
復合函數求導、隱函數求導、對數求導法、反函數求導、參數方程求導
復合函數求導
復合函數一層層分層求導，冪指函數化為復合指數函數
隱函數求導
顯函數：y=f(x),隱函數F(x,y)=0
方法：在F(x,y)=0兩遍同時對x求導，只需注意y=y(x)即可(復合求導)
對數求導法
對多項目相乘、相除、開方乘方得來的式子，先取對數再求導，稱為對數求導。
反函數求導
\(\frac{dy}{dx}={y}' \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{{y}'}\)
參數方程求導
\(\begin{cases} {x=x(t)} &\\ {y=y(t)} \end{cases},t為參數\)
顯函數
解析式中明顯地用一個變量的代數式表示另一個變量時，稱為顯函數。
一個函數如果能用形如 的解析式表示，其中 分別是函數的自變量與因變量，則此函數稱為顯函數，如 等都是顯函數。
隱函數
隱函數（implicit function）是由隱式方程所隱含定義的函數，比如\(y={\sqrt {1-x^{2}}}\)是由\(x^{2}+y^{2}-1=0\)確定的函數。而可以直接用含自變量的算式表示的函數稱為顯函數，也就是通常所說的函數，如\(y=\cos(x)\)。
Part III 中值定理與一元微分學應用
1. 中值定理
有界性定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(\exists K>0,使得|f(x)| \leq K, \forall x \in[a,b]\)
最值定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(當m\leq \mu \leq M時，其中m,M分別為f(x)在[a,b]上的最小最大值\)
介值定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(當m\leq \mu \leq M時，則\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi)=0\)
零點定理
設f(x)在[a,b]連續，則：
\(當f(a) \cdot f(b)<0時，則\exists \xi \in (a,b),使f(\xi)=0\)
費馬定理
\(設f(x)在x=x_{0}處 \begin{cases}1) & 可導\\ 2) & 取極值\end{cases} \Rightarrow {f}'(x_{0})=0\)
羅爾定理
\(設f(x)滿足以下三個條件 \begin{cases}1) & [a,b]連續\\ 2) & (a,b)可導 \\ 3) & f(a)=f(b)\end{cases} ，則\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=0\)
拉格朗日中值定理
\(設f(x)滿足以下兩個條件 \begin{cases}1) & [a,b]連續\\ 2) & (a,b)內可導\end{cases} ，則\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
柯西中值定理
\(設f(x)，g(x)滿足 \begin{cases}1) & [a,b]連續\\ 2) & (a,b)內可導 \\ 3) &{g}'(x)\neq0 \end{cases} ，則\exists \xi \in (a,b)，使得 \frac{{f}'(\xi)}{{g}'(x)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)
柯西、拉格朗日、羅爾三者間的關系
柯西中值定理 → 拉格朗日中值定理 → 羅爾定理。But 拉格朗日中值定理 !→ 柯西中值定理
涉及f(x)的應用，可能需要用到的定理
有界性定理，最值定理，介值定理，零點定理
羅爾定理的應用范式
\(f(a)=f(b) \Rightarrow {f}'(\xi)=0\)
羅爾定理的關鍵，以及達成這個關鍵的兩個途徑
關鍵：\(F(a)=F(b) \Rightarrow {F}'(\xi)=0\)
兩個途徑：
- 求導公式逆用法
- 積分還原法
- 將欲證結論中的\(\xi 改為 x\)
- 積分，令c=0
- 移項，使等式一端為0，則另一端記為F(x)
2. 單調性與極值
導數的幾何應用有哪些
三點兩性一線：極值點、最值點、拐點；單調性，凹凸性；漸近線
極值的定義需要注意的地方
必須是雙側定義，否則不考慮極值
廣義極值
\(\exists x_{0}的某個鄰域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，則x_{0}為f(x)的真正極大值點\)
狹義極值（真正極值）
\(\exists x_{0}的某個【去心】鄰域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，則x_{0}為f(x)的真正極大值點\)
單調性與極值判別
- \(若{f}'(x)>0, \forall x \in I，則f(x)在I上單調遞增；若{f}'(x)<0, \forall x \in I，則f(x)在I上單調遞減；\)
- \(若f(x)在x= x_{0}處連續，在U(x_{0}, \delta)內可導，則\begin{cases}當x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})時, {f}'(x)<0，當x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)時，{f}'(x)>0，\Rightarrow 極小 \\ 當x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})時, {f}'(x)>0，當x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)時，{f}'(x)<0，\Rightarrow 極大 \\ 若{f}'(x)在(x_{0}-\delta, x_{0})與(x_{0}, x_{0}+\delta)內不變號 \Rightarrow 不是極值 \end{cases}\)
- \(若f(x)在x=x_{0}處二階可導，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})>0 \Rightarrow 極小值；若f(x)在x=x_{0}處二階可導，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})<0 \Rightarrow 極大值\)
3. 零碎問題
函數的凹凸性
\(\forall x_1, x_2 \in I, 有:\begin{cases} \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} > f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凹曲線 \\ \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} < f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凸曲線 \end{cases}\)
函數拐點
連續曲線凹凸弧的分界點
拐點判別法
設f(x)在I上二階可導
- \(\begin{cases}若{f}''(x_0)>0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凹的\\ 若{f}''(x_0)<0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凸的\end{cases}\)
- \(若f(x)在x_0點的左右鄰域{f}''(x)變號 \Rightarrow (x_0,f(x_0))為拐點\)
鉛直漸近線
\(若\lim \limits_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x)=\infty，則稱x=x_0為f(x)的一條鉛直漸進線\)
出現在：無定義點 || 開區間端點
水平漸近線
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x)=A，則稱y=A為f(x)的一條水平漸進線\)
斜漸近線
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)} \frac{f(x)}{x}=a\neq0，且\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x)-ax]=b \exists,則稱y=ax+b為f(x)的一條斜漸進線\)
函數的最值的求法
- \(對於函數f(x)，在[a,b]上找出三類點\begin{cases}{f}'x=0 \Rightarrow x_0駐點 \\ {f}'(x)!\exists \Rightarrow不可導點 \\ 端點a,b \end{cases}\)
\(比較f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)大小取其最大(最小)值為最大(最小)值\) - \(若在I上求出唯一極大(極小)值點，則由實際背景確定最大(小)值\)
Part IV 一元函數積分學
不定積分定義
\(\forall x\in I,\ 使{F}'(x)=f(x)成立，則稱F(x)在f(x)在I上的一個原函數。全體原函數就叫不定積分，記成：\int f(x)dx=F(x)+C\)
定積分定義
\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)
不定積分與定積分的幾何意義
\(\int f(x)dx為函數族，\int_{a}^{b} f(x)dx 為面積代表值\)
牛頓-萊布尼茲公式 / N-L 公式
\(\int_{a}^{b} f(x)dx =F(x)\mid_{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a)\)
基本積分公式
\(\int x^kdx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C\)
\(k\neq1 \begin{cases}\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C \\\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C \end{cases}\)
\(\int \frac{1}{x}dx = lin|x|+C\)
\(\int a^xdx=\frac{1}{lna}a^x+C，a>0, a\neq1\)
\(\int e^xdx=e^x+C\)
\(\int sinxdx=-cosx+C\)
\(\int cosxdx=sinx+C\)
\(\int tanxdx=-ln|cosx|+C\)
\(\int cotxdx=ln|sinx|+C\)
\(\int secxdx=ln|secx - tanx|+C\)
\(\int cscxdx=ln|cscx - cotx|+C\)
\(\int sec^2xdx=-cotx+C\)
\(\int secxtanxdx=secx+C\)
\(\int secxcotxdx=-cscx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C\)
\(\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C\)
\(\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan{\frac{x}{a}}+C\)
\(\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{a+x}{a-x}}+C\)
\(\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{x-a}{x+a}}+C\)
\(\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\)
點火公式(華里士公式)
- \(I_n=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}sin^nxdx=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}cos^nxdx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & n為正整數 \\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} & n為大於1的正奇數 \end{cases}\)
- 偶數時點火成功乘 \(\frac{\pi}2\)，奇數時點火失敗以 1 打止
積分-換元法的三板斧
- 當湊微分法不成功時，考慮換元，從而使題目從復雜變簡單
-
三角換元
- \(三角換元--當被積函數f(x)含有\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}\)
- \(\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=asint,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{a^2+x^2} \Rightarrow x=atant,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{x^2-a^2} \Rightarrow x=asect,\begin{cases}x>0,0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\\ x<0,\frac{\pi}{2}\leq t \leq \pi\end{cases}\)
- Note：\(若見到\sqrt{ax^2+bx+c}，要先化為\sqrt{\phi^2(x)-k^2}，\sqrt{k^2-\phi^2(x)}，\sqrt{\phi^2(x)+k^2}，再做三角換元\)
-
倒帶換
\((x=\frac{1}{t})---可用於分子次數明顯低於分母次數的情況\) -
復雜部分換元——令復雜部分=t
\(\begin{cases}\sqrt[n]{ax+b}ax+b=t，\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t，\sqrt{ae^{bx}+c}=t，(根式代換)\\ a^x,e^x=t，(指數代換) \\ lnx=t，(對數代換)\\ arcsinx,arctanx=t，(反三角函數代換)\end{cases}\)
分部積分法
\(\int udv=uv- \int vdu (前面的積分困難，后面的積分簡單)\)
反對冪指三，排前面的求導，排后面的積分
有理函數積分法
- 定義:\(形如\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx,(n<m)的積分\)
- \(將\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}拆成若干最簡有理分式之和\)
- 拆分原則
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 產生k項\)：
\(\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_k}{(ax+b)^k},k=1,2 \cdot \cdot \cdot\) - \(Q_m(x)分解出(px^2+qx+r)^k \Rightarrow 產生k項\)：
\(\frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r} + \frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k},k=1,2 \cdot\cdot\cdot\)
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 產生k項\)：
定積分的計算
\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)
- 先按四大積分法求出F(x)
- 帶入上下限，要注意換元時的細節：
\(對於\int_a^bf(x)dx=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f[\phi(t)]{\phi}'(t)dt, (令x=\phi(t))；且要求{\phi}'(t) 連續，且x=\phi(t)不超過區間[a,b]\)
用積分表達和計算平面圖形的面積
\(y=y_1(x), y=y_2(x), x=a, x=b, (a < b) 所圍成的平面圖形的面積：\)
\(S=\int_a^b|y_2(x)-y_1(x)|dx\)
用積分表達和計算旋轉體的體積
- \(y=y(x)與x=a,x=b, (a < b ) 及x軸所圍圖形繞x軸旋轉一周所得的旋轉體體積為：V=\int_a^b\pi y^2(x)dx\)
- \(y=y(x)與x=a,x=b,( a < b ) 及x軸所圍圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體體積為：V_y=\int_a^b2\pi x |y(x)|dx, (柱殼法)\)
用積分表達和計算函數的平均值---y(x)在[a,b]上的平均值是
\(y(x)在[a,b]上的平均值\overline{y}=\frac{\int_a^by(x)dx}{b-a}\)
Part V 多元函數微分學
多元函數微分的極限定義
\(設f(x,y)的定義域為D,P_0(x_0,y_0)是D的聚點(=內點+邊界點), \forall \epsilon>0,\exists \delta>0,當P(x,y)\in D \cap U(P_0, \delta )時，恆有|f(x,y)-A|<\epsilon \Rightarrow \lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=A\)
多元函數微分的連續性
\(\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0),則稱f(x,y)在（x_0,y_0）處連續\)
\(【注】\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y) \neq f(x_0,y_0),叫不連續，不討論間斷類型\)
多元函數微分的偏導數 z=f(x, y)
- \(\frac{\partial f }{\partial x}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_x(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim_{\triangle x \to \infty}\frac{f(x\_0+\triangle x, y\_0)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle x}\)
- \(\frac{\partial f }{\partial y}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_y(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim\_{\triangle y \to \infty}\frac{f(x\_0, y\_0+\triangle y)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle y}\)
多元函數微分-鏈式求導規則
\(設z=f(u,v,w), u=u(y), v=v(x,y), w=w(x)。稱x,y叫做自變量，u,v,w叫做中間變量,z叫因變量.\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)
多元函數-高階偏導數
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)
多元函數-無條件極值-必要條件
\(設z=f(x,y)在點(x_0, y_0)處\begin{cases} 一階偏導數存在\\ 取極值 \end{cases} ，則{f}'_x(x_0, y_0)=0,{f}'_y(x_0, y_0)=0\)
【注】適用於三元及以上(常考2-5元)
多元函數-無條件極值-充分條件
\(\begin{cases} {f}''\_{xx}(x\_0,y\_0)=A \\ {f}''\_{xy}(x\_0,y\_0)=B \\ {f}''\_{yy}(x\_0,y\_0)=C \end{cases} \Rightarrow \triangle=B^2-AC \begin{cases} <0\begin{cases} A>0 \Rightarrow 極小值點 \\ A<0 \Rightarrow 極大值點 \end{cases} \\ >0 \Rightarrow 不是極值點 \\ =0 \Rightarrow 該法失效，另謀它法（概念題） \end{cases}\)
- Note：只適用於二元
多元函數-條件極值-求法
- 提法：\(求目標函數u=f(x,y,z)在約束條件\begin{cases} M (x,y,z)=0\\ N(x,y,z)=0 \end{cases} 下的極值\)
- 拉氏乘數法：
- \(構造輔助函數F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda M(x,y,z)+\mu N(x,y,z)，(\lambda,\mu均可能取0)\)
- \(令{F}'(x)=0,{F}'(y)=0,{F}'(z)=0,{F}'(\lambda)=0,{F}'(\mu)=0\)
- \(解方程組 \Rightarrow P_i(x_i, y_i, z_i) \Rightarrow u(P_i)，比較 \Rightarrow取最大、最小者為最大值，最小值\)
Part VI 重積分
二重積分的普通對稱性
- \(設D關於y軸對稱，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(-x,y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(-x,y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
- \(設D關於x軸對稱，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(x,-y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(x,-y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
二重積分的輪換對稱性（直角坐標系下）
輪換對稱性：
\(若將D中的x與y對調，可推出D不變，則：\iint_{D} f(x,y)dxdy=\iint_{D} f(y,x)dxdy，此即為輪換對稱性\)
二重積分直角坐標系下的積分方法
\(\iint_{D} f(x,y)d\sigma = \iint_{D} f(x,y)dxdy\)
- \(X型區域（上下型）\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy\)
后積先定限，限內畫條線，先交下曲線，后交上曲線 - \(Y型區域（左右型）\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx\)
二重積分極坐標系下的積分方法
\(d\sigma=d\theta\cdot rdr \Rightarrow \iint_Df(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(rcos{\theta},rsin{\theta})rdr\)
Part VII 微分方程
微分方程的概念
- \(F(x,y,{y}',{y}'',...,{y}^{(n)})=0\)
- 階數一方程中y的最高階導數的階數
\(如：ysinx-{y}''=cosx+2就是二階微分方程，\begin{cases} n=1,一階\\ n\geq2,高階 \end{cases}\) - 通解 --- 解中所含獨立常數的個數=方程的階數
一階微分方程求解-變量可分離型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(x,y)=g(x)h(y)\Rightarrow\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=g(x)dx\Rightarrow\int\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=\int g(x)dx\)
一階微分方程求解-齊次型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(\frac{y}{x})\Rightarrow y=ux \Rightarrow {y}'={u}'x+u \Rightarrow {u}'x+u=f(u) \Rightarrow \frac{\text{du}}{\text{dx}}x=f(u)-u \Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\Rightarrow \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}\)
一階微分方程求解-一階線性型
\(形如:{y}'+p(x)y=q(x), p(x),q(x)為已知函數 \Rightarrow y=e^{-\int p(x)dx}(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\)
二階常系數齊次D.E.求解：\(y''+py'+qy=0\) p,q為常數
- \(寫\lambda^2 + p\lambda+q=0 \Rightarrow \triangle=p^2-4q\)
- \(\begin{cases} \triangle>0 \Rightarrow \lambda_1\neq\lambda_2 \Rightarrow y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\\ \triangle=0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda \Rightarrow y(C_1+C_2x)e^{kx} \\ \triangle<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{4q-p^2}i}{2}=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y=e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x})+C_2sin{\beta x}) \end{cases}\)
二階常系數非齊D.E.求解：\(y''+py'+qy=f(x)\)
- \(f(x) = P_n(x) e^{kx}\)型
- 解法
- 解的結構：\(y_{通解}=y_{齊次通解}+y_{非齊次特解}^*\)
- 求齊次通解：按照前面的方法求出
- 求特解：
- 設\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)（其中\(Q_n(x)\)由\(P_n(x)\)得到）
- 由k與特征方程的根的情況決定是否要在\(y^*\)后面乘上x或\(x^2\)
- \(\lambda _1 \neq k, \lambda_2 \neq k\)：設\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)
- \(\lambda _1 = k, \lambda_2 \neq k\)：設\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\times x\)（多乘一個x）
- \(\lambda _1 = \lambda_2 = k\)：設\(y^* = e^{kx} Q_n(x) \times x^2\)（多乘兩個x）
- 求出\(y'^*,\ y''^*\)，帶入原方程，化簡，解出待定系數a，b
- 將a，b帶入\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)，即得特解
- 組合：最后結果為 齊次通解+特解
- 解法
二 線性代數部分
Part I 行列式
行列式的定義與性質
\(\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ c_{21} & d_{22} \end{array} \right| = a_{11} b_{12} - c_{21} d_{22}\)
- 行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說，在\(n\) 維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。
二階行列式定義
定義：二階行列式是以兩個行向量為領邊的平行四邊形的面積
\(\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ c_{21} & d_{22} \end{array} \right|\Rightarrow S=a_{11} b_{12}-c_{21} d_{22}\)
- \(S=l\cdot m \cdot sin(b-a)=l \cdot m \cdot (sinbcosa - cosbsina) = a_{11} b_{12}-c_{21} d_{22}\)
三階行列式定義
定義：三階行列式是以三個行向量為棱邊的平行六面體的體積
\(\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot \cdot \cdot & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& \cdot \cdot \cdot & a_{2n} \\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array} \right| \_{n\times n}\)
n階行列式定義
n階行列式是由n維向量組成，其結果為n維圖形的體積
行列式重要觀點
\(D_n=|A_{n \times n}|\begin{cases}\neq0 \Rightarrow 組成行列式的向量線性無關 \\=0 \Rightarrow 組成行列式的向量線性相關 \end{cases}\)
行列式的7大性質
\(七大性質(習慣上a=\left( \begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_n \end{array} \right) 列向量)\)
\(其中a=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)=(1 2 3 4)^T，T稱為A的轉置\)
- 行列互換，其值不變，\(|A|=|A^T|\)
- 行列式中某行（列）元素全為0，則行列式為0
- “倍乘”性質 行列式中某行（列）元素有公因子k(k!=0),則k可以提到行列式外面，即：
\(\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ ka_{i1} & ka_{i2}& \cdot\cdot\cdot & ka_{in} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right| \_{n\times n} = k \cdot\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{i1} & a_{i2}& \cdot\cdot\cdot & a_{in} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right |_{n\times n}\) - “互換”性質
行列式中某行（列）元素是兩個元素之和，則可拆成兩個行列式之和，即：
\(\left | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2}& \cdot\cdot\cdot & a_{in}+b_{in}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right | = \left | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{i1} & a_{i2}& \cdot\cdot\cdot & a_{in}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right | + \left | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ b_{i1} & b_{i2}& \cdot\cdot\cdot & b_{in}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|\)
【注】等式從左到右是兩個 行列式相加的運算，如果兩個行列式的其他元素對應相等，之育雛一行（列）不同時，可以相加，相加時其他元素不變，不同元素的行（列）對應相加即可。 - “互換”性質
行列式中兩行（列）互換，行列式的值反號 - 行列式中兩行（列）元素相等或對應成比例，則行列式為0
- “倍加”性質
行列式中兩行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不變
行列式展開定理
-
余子式
在n階行列式中，去掉元素\(a_{ij}\)所在的第i行，第j列元素，由剩下的元素按原來的位置與順序組成的n-1階行列式稱為元素\(a_{ij}\)的余子式，記成\(M_{ij}\),即：
\(M_{i,j}=\left | \begin{array}{cc} a_{11} & \cdot\cdot\cdot & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} && {\cdot \\ \cdot \\\cdot}& {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{i-1,1} & \cdot\cdot\cdot & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdot\cdot\cdot & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdot\cdot\cdot & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdot\cdot\cdot & a_{i+1,n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} && {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & \cdot\cdot\cdot & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|\) -
代數余子式
\(余子式M_{ij}乘(-1)^{i+j}后稱為代數余子式，記為A_{ij},即 A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}，顯然也有M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}\) -
行列式按某一行（列）展開的展開公式
行列式的值等於行列式的某行（列）元素分別乘其相應的代數余子式后再求和，即：
\(|A|=\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdot\cdot\cdot +a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}(i=1,2,\cdot\cdot\cdot,n) \\ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \cdot\cdot\cdot +a_{nj}A_{nj}=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}(j=1,2,\cdot\cdot\cdot,n) \end{cases}\)
幾個重要的行列式
1. 上下三角形行列式
\(\left| \begin{array}{c} a_{11} &0 & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ a_{21} & a_{21} & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}&& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|=\left| \begin{array}{c} a_{11} &a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdot\cdot\cdot & a_{2n} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}&& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ 0 & 0 & \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|=\left| \begin{array}{c} a_{11} &0 & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}&& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ 0 & 0 & \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|=\prod_{i=1}^na_{ii}\)
2. 副對角線行列式
\(\left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1,n-1} &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdot\cdot\cdot &a_{2,n-1}&0 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} && {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 & 0 \end{array}\right|= \left| \begin{array}{c} 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdot\cdot\cdot &a_{2,n-1}&a_{2n} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} && {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & \cdot\cdot\cdot & a_{n, n-1} & a_{nn} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdot\cdot\cdot &a_{2,n-1}&0 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} && {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & \cdot\cdot\cdot & 0 & 0 \end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdot\cdot\cdot a_{n1}\)
3. 范德蒙行列式
\(\left| \begin{array}{c} 1 & 1 & \cdot\cdot\cdot &1 \\ x_{1} &x_{2} & \cdot\cdot\cdot &x_{n}\\ x_{1}^2 &x_{2}^2 & \cdot\cdot\cdot &x_{n}^2 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}&& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ x_{1}^{n-1} &x_{2}^{n-1} & \cdot\cdot\cdot &x_{n}^{n-1} \end{array}\right|=\prod_{1\leq i \leq j \leq n}(x_j-x_i)\)
4. 行和或列和相等的行列式（行和是指每一行元素相加的和，列和同理）
\(\left| \begin{array}{c} a & b & b & \cdot\cdot\cdot &b \\ b &a &b & \cdot\cdot\cdot &b \\ b & b & a & \cdot\cdot\cdot &b \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot } & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot } && {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ b & b & b & \cdot\cdot\cdot & a \end{array} \right| =\[ a+(n-1)b \] (a-b)^{n-1}\)
Part II 矩陣
矩陣的定義
由m*n個數，排成m行n列的矩陣表格
\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} &\cdot\cdot\cdot& a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdot\cdot\cdot& a_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ a_{m1} & a_{m2} &\cdot\cdot\cdot& a_{mn} \end{bmatrix}\)
稱為一個\(m \times n\)的矩陣，簡記為\(A\)或\((a \_ {ij})\_ {m\times n}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\), 當\(m=n\)時，稱為n階方陣。
兩個矩陣\(A=(a\_{ij})\_{m\times n}, B=(b\_{ij})\_{s\times k}\),若\(m=s,n=k\),則稱\(A\)與\(B\)為同型矩陣
矩陣的基本運算
- 相等：
\(A=(a\_{ij})\_{m\times n}=B=(b\_{ij})\_{s\times k}\Leftrightarrow m=s,n=k,且a\_{ij}=b\_{ij}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n),即A，B是同型矩陣，且對應元素相等\) - 加法：兩個矩陣是同型矩陣時可以相加，即：
\(C=A+B=(a\_{ij})\_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n}=(c\_{ij})\_{m\times n},其中，c\_{ij}=a\_{ij}+b\_{ij}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n),即對應元素相加\) - 數乘矩陣：設K是一個數，A是一個m*n矩陣，數K和A的乘積稱為數乘矩陣，即A的每個元素都乘以K
\(kA=Ak=k\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdot\cdot\cdot & a_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdot\cdot\cdot & a_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & \cdot\cdot\cdot & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdot\cdot\cdot & ka_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdot\cdot\cdot & ka_{mn} \end{bmatrix}=(ka_{ij})_{m\times n}\) - 矩陣的乘法：
設\(A\)是\(m\times s\)矩陣,\(B\)是\(s\times n\)矩陣(矩陣\(A\)的列數必須與矩陣B的行數相等),則\(AB\)可乘，乘積\(AB\)是\(m\times n\)矩陣，記\(C=AB=(c_{ij})\_{m\times n}\)。\(C\)的第i行第j列元素\(c\_{ij}\)是\(A\)的第i行的s個元素與B的第j列的s個對應元素兩兩相乘之和，即：
\(c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdot\cdot\cdot + a_{is}b_{sj}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\)
- 矩陣乘法滿足下列運算規律：
- 結合律：
\((A_{m\times s}B_{s \times r})C_{r\times n}=A_{m\times s}(B_{s \times r}C_{r\times n})\) - 分配律：
- \(A_{m\times s}(B_{s \times r}+C_{s\times n})=A_{m\times s}B_{s \times r}+A_{m\times s}C_{s\times n}\)
- \((A_{m\times s}+B_{m \times s})+C_{s\times n}=A_{m\times s}C_{s \times n}+B_{m\times s}C_{s\times n}\)
- 數乘與矩陣乘積的結合律：
\((kA_{m\times s})B_{s \times n}=A_{m\times s}(kB_{s \times n})=k(A_{m\times s}B_{s\times n})\)
【注】矩陣的乘法一般情況下不滿足交換律，即\(AB \neq BA\)
初等變換
- 一個非零常數乘矩陣的某一行(列)
- 互換矩陣中某兩行(列)的位置
- 將某行(列)的k背加到另一行(列)
以上三種變換稱為矩陣的三種初等行(列)變換，且分別稱為倍乘、互換、倍加初等行(列)變換
可逆陣（方）定義
$ 對於A_{n\times n}、B_{n \times n}，若AB=E，則A，B可逆，且BA=E，A{-1}=B，B{-1}=A，AB=BA$
可逆陣（方）性質-5個
- \((A^{-1})^{-1}=A\)
- \(k\neq 0, (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
- \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T，即A的轉置的逆等於A的逆的轉置\)
- \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}，即A的逆的行列式等於A的行列式分之一\)
伴隨陣定義
\(定義A^*=\left |\begin{array}{c}A_{11} & A_{21} &\cdot\cdot\cdot &A_{n1} \\ A_{11} & A_{21} &\cdot\cdot\cdot &A_{n1} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ A_{1n} & A_{2n} &\cdot\cdot\cdot &A_{nn}\end{array}\right|\)
\(A_{ij}為A的a_{ij}的代數余子式，任何n階矩陣必有伴隨矩陣\)
伴隨陣計算
\(計算AA^\*=\left(\begin{array}{a}a\_{11}&a\_{12} \\ a\_{21}&a\_{22}\end{array}\right) \left(\begin{array}{a} A\_{11}&A\_{12} \\ A\_{21}&A\_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{a}|A|&a \\ 0 & |A| \end{array}\right)=|A|E\)
\(計算AA^\*=A^\*A=|A|E,即A乘A的伴隨=A的伴隨乘A=A的行列式乘以單位矩陣\)
伴隨陣常用結論及其推論（|A|!=0 <=> |A| 可逆）- 6個
- \(|A^*|=|A|^{n-1}\)
- \(k\neq 0, (kA)^{\*}=k^{n-1}|A|A^{-1}=k^{n-1}A^\*\)
- \((A^T)^{\*}=(A^{\*})^T\)
- \((A^{-1})^{\*}=(A^{\*})^{-1}\)
- \((A^\*)^{\*}=|A|^{n-2}\cdot A\)
- \((AB)^\*=B^*A^\* \ ,\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\ ,\ (AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)
初等陣定義
單位矩陣通過一次初等變換得到的矩陣，叫初等陣
\(E_3=\left(\begin{array}{c}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right)\begin{cases}1.\left(\begin{array}{c}0&1&0 \\ 1&0&0\\ 0&0&1\end{array}\right)，互換初等陣 \\ 2.\left(\begin{array}{c}1&0&0 \\ 3&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right)，倍加初等陣 \\ 3. \left(\begin{array}{c}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&6\end{array}\right)，倍乘初等陣 \end{cases}\)
初等陣性質
- \(E_{i(k)}^{-1}=E_{i(\frac{1}{k})}\ ,\ E_{ij}^{-1}=E_{ij} \ ,\ E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)\)
- 左行右列定理
初等陣P左乘（右乘）A得PA（AP），就是對A做了一次與P相同的初等行（列）變換
求A的逆-伴隨矩陣法
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^\*(多用於2、3階)\)
\(1.求|A|，2.求A^\*，3.寫A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^\*\)
求A的逆-初等變換法
任何可逆矩陣A一定可以通過若干次初等行變換，化成同階單位陣E
\(即 P_n\cdot\cdot\cdot P_2P_1A=E\ ,\ P_n\cdot\cdot\cdot P_2P_1E=A^{-1}\)
\(\Rightarrow (A|E) \Rightarrow (E|A^{-1})\)
矩陣方程定義
\(AX=B,\ XA=BA,\ XB=C\)
基礎命題：
- \(若A可逆 \Rightarrow X=A^{-1}B\)
- \(若A可逆 \Rightarrow X=BA^{-1}\)
- \(A、B可逆 \Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}\)
高數部分補充
函數
對數函數
- $ y=log_a^x(a>0,a\neq 1),是y=a^x的反函數$
- 單調性：\(當a>1時，y=log_a^x單調增加，當0<a<1時，y=log_a^x單調減小\)
- 常用的對數函數：\(y=lnx(自然對數，lnx=log_e^x，e=2.71828...)\)
- 特殊函數值：\(log_a^1=0,\ log_a^a=1,\ ln1-0,\ lne=1\)
- 極限：\(\lim_{x \to 0^+}lnx=-\infty,\ \lim_{x \to +\infty}lnx=+\infty\)
- ！！！常用公式：\(x=e^{lnx},\ u^v=e^{lnu^v}=e^{vlnu}\)
反正切函數，反余切函數
- 反正切函數---y=arctanx, 反余切函數---y=arccotx
- 性質：\(arctanx+arccotx=\frac{\pi}{2} (-\infty < x < +\infty )\)
- 特殊函數值：
- \(arctan0=0,\ arctan\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6},\ arctan1=\frac{\pi}{4},\ arctan{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3}\)
- \(arccot0=0,\ arccot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6},\ arccot1=\frac{\pi}{4},\ arccot{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3}\)
- 極限：\(\lim \limits_{x \to -\infty}arctanx=-\frac{\pi}{2},\ \lim \limits_{x \to +\infty}arctanx=\frac{\pi}{2},\ \lim \limits_{x \to -\infty}arccotx=\pi,\ \lim \limits_{x \to +\infty}arccotx=0\)
三個重要的分段函數-分段函數
- 定義：\(y=|x|=\begin{cases}x & x \geq 0\\ b & -x < 0\end{cases}稱為“絕對值函數”\)
- 性質：
- 該函數在x=0處連續（沒有間斷），但是不可導（有折點，不光滑）。后面會看到，這個看起來不起眼的函數，會多次在我們判別似是而非的概念時給我們援手。
- 絕對值函數和最大、最小值函數有某種親密關系，如下：
\(x 設f(x)與g(x)為連續函數，如果令\\ U=max\{f(x), g(x)\}, \ V=min\{f(x), g(x)\},則：\\ U=max\{f(x), g(x)\}=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]=\begin{cases}f(x) & f(x) \geq g(x)\\ g(x) & f(x)<g(x) \end{cases},\\ \ V=min\{f(x), g(x)\}=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]=\begin{cases}g(x) & f(x) \geq g(x)\\ f(x) & f(x)<g(x) \end{cases}\\ 即：U+V=f(x)+g(x),\ U-V=|f(x)-g(x)|,\ UV=f(x)g(x)\)
三個重要的分段函數-符號函數
- 定義：$ y=sgnx=\begin{cases}1 & x > 0\ 0 & x = 0 \ -1 & x < 0\end{cases},稱為符號函數，對於任何實數x，有x=|x|shnx$
三個重要的分段函數-取整函數
- 定義：y=[x]稱為取整函數，先給出定義，設x為任一實數，不超過x的最大整數稱為x的整數部分，記作[x]。如[0.99]=0, %[\pi]%=3,[-1]=-1,[-1.99]=-2,因此，取整函數y=[x]的定義域為R，值域為Z，在x為整數值處發生跳躍
- 注意點：
- \(x-1\leq[x],\ [x+n]=[x],\ n[x]\leq nx,\ [x]+[y]\leq[x+y]\)
- \(\lim_{x \to 0^+}[x]=0,\ \lim_{x \to 0^-}[x]=-1\)
- 考得最多：\(x-1<[x]\leq x\)
常用基礎知識
數列基礎
- 等差數列：
- 通項公式：\(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d\)
- 前n項的和：\(S_{n} = \frac{n}{2}[2a_{1} + (n - 1)d] = \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n})\)
- 等比數列：
- 通項公式：\(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\)
- 前n項的和：\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - r^{n})}{1 - r} (r \neq 1)\)
- 常用：\(1 + r + r^{2} + … + r^{n - 1} = \frac{1 - r^{n}}{1 - r} (r \neq 1)\)
- 一些數列前n項的和：
- \(\sum_{k=1}^nk = 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}\)
- \(\sum_{k=1}^n(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n^{2}\)
- \(\sum_{k=1}^nk^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + … + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)
- \(\sum_{k=1}^nk^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + n^{3} = [\frac{n(n + 1)}{2}]^{2} = (\sum_1^nk)^{2}\)
- \(\sum_{k=1}^nk(k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}\)
- \(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + … + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1}\)
三角函數基礎
-
三角函數基本關系：
- \(\sin\alpha \csc\alpha = 1\)
- \(\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}\)
- \(\cos\alpha \sec\alpha = 1\)
- \(\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}\)
- \(\tan\alpha \cot\alpha = 1\)
- \(\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}\)
- \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
- \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)
- \(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)
- \(1 - \sin^{2}\alpha = \cos^{2}\alpha\)
- \(1 - \cos^{2}\alpha = \sin^{2}\alpha\)
- \(\sec^{2}\alpha - \tan^{2}\alpha = 1\)
- \(1 + \tan^{2}\alpha = \sec^{2}\alpha\)
- \(\sec^{2}\alpha - 1 = \tan^{2}\alpha\)
- \(\csc^{2}\alpha - \cot^{2}\alpha = 1\)
- \(1 + \cot^{2}\alpha = \csc^{2}\alpha\)
- \(\csc^{2}\alpha - 1 = \cot^{2}\alpha\)
-
誘導公式
| \(函數/角\theta\) | \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) | \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) | \(\pi - \alpha\) | \(\pi + \alpha\) | \(\frac{3\pi}{2} - \alpha\) | \(\frac{3\pi}{2} + \alpha\) | \(2\pi - \alpha\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(函數/角\theta\) | \(90°- a\) | \(90°+ a\) | \(80°- a\) | \(180°+ a\) | \(270°- a\) | \(270°+ a\) | \(360°- a\) |
| \(\sin\theta\) | \(\cos\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) | -\(\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\sin\alpha\) |
| \(\cos\theta\) | \(\sin\alpha\) | -\(\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) |
| \(\tan\theta\) | \(\cot\alpha\) | -\(\cot\alpha\) | \(-\tan\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) | \(-\cot\alpha\) | \(-\tan\alpha\) |
| \(\cot\theta\) | \(\tan\alpha\) | -\(\tan\alpha\) | \(-\cot\alpha\) | \(\cot\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(-\tan\alpha\) | \(-\cot\alpha\) |
| \(函數/角\theta 所在象限\) | \(第一象限\) | \(第二象限\) | \(第三象\) | \(第四象限\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\theta\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\cos\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(\tan\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(\cot\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(\alpha\) | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90\) | \(120°\) | \(135°\) | \(150°\) | \(180°\) | \(270°\) | \(360°\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\alpha\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(\frac{3\pi}{4}\) | \(\frac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | 2\pi$ |
| \(\sin\alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(\cos\alpha\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\tan\alpha\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | \(\infty\) | \(-\sqrt{3}\) | \(-1\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0\) | \(\infty\) | \(0\) |
| \(\cot\alpha\) | \(\infty\) | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(-1\) | \(-\sqrt{3}\) | \(\infty\) | \(0\) | \(\infty\) |
倍角公式
- \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
- \(\cos2\alpha=cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)
- \(\sin3\alpha=-4\sin^3\alpha+3\sin\alpha\)
- \(\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)
- \(\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha)\)
- \(\cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha)\)
- \(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2}\)
- \(\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}\)
半角公式
- \(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos\alpha)\)
- \(\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\alpha)\)
- \(\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\)
- \(\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\)
- \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\)
- \(\cot\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}\)
和差公式
- \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\)
- \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
- \(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)
- \(\cot(\alpha\pm\beta）=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}\)
積化和差公式
- \(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\sin（\alpha+\beta）+\sin（\alpha-\beta）\right]\)
- \(\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\sin（\alpha+\beta）-\sin（\alpha-\beta）\right]\)
- \(\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos（\alpha+\beta）+\cos（\alpha-\beta）\right]\)
- \(\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\cos（\alpha-\beta）-\cos（\alpha+\beta）\right]\)
和差化積公式
- \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\)
- \(\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\)
- \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\)
- \(\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\)
萬能公式
- \(若\mu=\tan\frac{x}{2}(-\pi < x < \pi)，則\sin\chi=\frac{2\mu}{1+\mu^2}\)
指數運算法則
- \(a^{\alpha}*a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}\)
- \(\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}\)
- \(\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha\beta}\)
- \(\left(ab\right)^\alpha=a^{\alpha}b^{\alpha}\)
- \(\left(\frac{a}{b}\right)^\alpha=\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\)
\(其中，a,b是正實數，\alpha,\beta是任意實數\)
對數運算法則
- \(\log_{a}{MN}=\log_{a}{M} \log_{a}{N}\)
- \(\log_{a}{\frac{M}{N}}=\log_{a}{M}-\log_{a}{N}\)
- \(\log_{a}{M^{n}}=n\log_{a}{M}\)
- \(\log_{a}{\sqrt[n]{M}}=\frac{1}{n}\log_{a}{M}\)
一元二次方程基礎
- 一元二次方程： \(ax^{2} bx c=0(a\neq0)\)
- 根的公式： \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
- 根與系數的關系： \(x_{1} x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)
- 判別式： \(\triangle=b^{2}-4ac:\)
- \(\triangle>0\)，方程有兩個不等的實根
- \(\triangle=0\)，方程有兩個相等的實根，
- \(\triangle<0\)，方程有兩個共軛的復根。
- 拋物線： \(y=ax^{2}+bx+c\) 的頂點：\(\left( -\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\)
因式分解公式
- \((a b)^{2}=a^{2} 2ab b^{2}\)
- \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab b^{2}\)
- \((a b)^{3}=a^{3} 3a^{2}b 3ab^{2} b^{3}\)
- \((a b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b 3ab^{2}-b^{3}\)
- \((a b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\)
- \(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2} ab b^{2})\)
- \(a^{3} b^{3}=(a b)(a^{2}-ab b^{2})\)
- \(a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1} a^{n-2}b ... ab^{n-2} b^{n-1})\) (n是正整數)
- n是正偶數時，\(a^{n}-b^{n}=(a b)(a^{n-1}-a^{n-2}b ... ab^{n-2}-b^{n-1})\)
- n是正奇數時，\(a^{n} b^{n}=(a b)(a^{n-1}-a^{n-2}b ...-ab^{n-2} b^{n-1})\)
階乘與雙階乘
- \(n!= 1\times2\times3\times ... \times n，規定0!=1\)
- \((2n)!! = 2\times4\times6\times ... \times 2n=2^n\cdot n!\)
- \((2n-1)!! = 1\times3\times5\times ... \times (2n-1)\)