中值定理
关于函数
设\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，则
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有界与最值定理：一个函数在一个有界区间内，一定最大值和最小值。
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介值定理：闭区间上的连续函数，函数值能够取到最大值与最小值之间的任何数。
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平均值定理：在区间内，一定有一点的函数值等于函数在区间内所有值的均值。
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零点定理：如果两个点的函数值异号，则在两点之间一定存在一点使得函数值为0。
关于微分或导数
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费马定理：如果一个函数在一点处可导并取得极值，则函数在该点的导数等于0。
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罗尔定理：设\(f(x)\)满足三个条件，①在\([a,b]\)上连续，②在\((a,b)\)内可导，③\(f(a)=f(b)\)。则区间内存在一个点的导数为0。
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拉格朗日中值定理：设 \(f(x)\) 满足 \(\left\{\begin{array}{l}\text { (1)在 }[a, b] \text { 上连续, } \\ \text { (2)在 }(a, b) \text { 内可导, }\end{array}\right.\)则区间内存在一点\(\xi\)，使得
\[f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a), \]或者写成
\[f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} . \] -
柯西中值定理：设 \(f(x), g(x)\) 满足 \(\left\{\begin{array}{l}\text { (1)在 }[a, b] \text { 上连续, } \\ \text { (2)在 }(a, b) \text { 内可导, 则存在 } \xi \in(a, b) \text {, 使得 } \\ \text { (3) } g^{\prime}(x) \neq 0,\end{array}\right.\) \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} .\)
证明（Bilibili up：萌弟AI）：
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泰勒公式
- 带拉格朗日余项的\(n\)阶泰勒公式
- 带佩亚诺余项的\(n\)阶泰勒公式
关于积分
- 积分中值定理：设函数在闭区间\([a,b]\)上连续，则在区间内存在一点，使得函数在区间上的积分 等于 该点的函数值乘以区间长度。
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a).$ \]