只講一些導數在OI中的簡單應用，特別基礎的東西，不會很詳細也不會很全面。
導數的定義
設函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)的某個鄰域內有定義，當自變量\(x\)在\(x_0\)處有增量\(Δx\)，\((x_0+Δx)\)也在該鄰域內時，相應地函數取得增量\(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)\)，如果\(Δy\)與\(Δx\)之比當\(Δx→0\)時極限存在，則稱函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導，並稱這個極限為函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處的導數，記作\(f'(x_0)\)，即：
\[f'(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
如果函數\(y=f(x)\)在開區間內每一點都可導，就稱函數\(f(x)\)在區間內可導。這時函數\(y=f(x)\)對於區間內的每一個確定的\(x\)值，都對應着一個確定的導數值，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數\(y=f(x)\)的導函數，記作\(f'(x)\)。
不嚴謹地說，導數其實就是函數在每個點上的斜率（不要吐槽）。
關於導數的四則運算
\[(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) \]
\[(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x) \]
\[(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g’(x) \]
\[(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} \]
復合函數求導的鏈式法則
若\(H(x)=F(G(x))\)，則\(H'(x)=F'(G(x))G'(x)\)。
常見函數的導數
ErkkiErkko懶的打公式了，直接在百度百科上截了一張下來。
微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）
\[\int_{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a) \]
泰勒展開
由於博主姿勢水平不夠就先放幾個柿子之后再填坑吧。
\[e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+... \]
\[sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-... \]
\[cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+... \]
\[ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-... \]
\[\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+... \]
\[(1+x)^a=1+\frac{a}{1!}x+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+... \]
小R教你學數學
