導數 - 微分 -偏導數 - 偏微分 - 全微分

在一些數學公式的推導中，常會遇到 \(d\) / \(\partial\) / \(\delta\) \ \(\Delta\) 等符號。它們背后分別代表的數學含義？

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增量

設變量 \(u\) 從它的一個初值 \(u_1\) 變到終值 \(u_2\)，終值與初值的差 \(u_2 - u_1\) 就叫做變量 \(u\) 的增量，記作 \(\Delta u\)，即

\[\Delta u = u_2 - u_1 \]

增量 \(\Delta u\) 可以是正的，也可以是負的。

應該注意到：記號 \(\Delta u\) 並不表示某個量 \(\Delta\) 與變量 \(u\) 的乘積，而是一個整體不可分割的記號。

舉例：
現在假定函數 \(y = f(x)\) 在點 \(x_0\) 的某一個鄰域內是有定義的。當自變量 \(x\) 在這個鄰域內從 \(x_0\) 變到 \(x_0 + \Delta x\) 時，函數值（或因變量） \(f(x)\) 相應地從 \(f(x_0)\) 變到 \(f(x_0 + \Delta x)\)，因此，函數值（或因變量） \(f(x)\) 的對應增量為

\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]

習慣上也稱 \(\Delta y\) 為函數的增量。

由此，可以定義函數的連續性，如下：

設函數 \(y = f(x)\) 在點 \(x_0)\) 的某一個鄰域內有定義，如果

\[\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [ f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) ] = 0 \quad ， \]

那么就稱函數 \(y = f(x)\) 在點 \(x_0\) 連續。

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導數

導數的定義： 設函數 \(y = f(x)\) 在點 \(x_0\) 的某個鄰域內有定義，當自變量 \(x\) 在 \(x_0\) 處取得增量 \(\Delta x\) （點 \(x_0 + \Delta x\) 仍在該鄰域內）時，相應地，因變量取得增量 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\)；如果 \(\Delta y\) 與 \(\Delta x\) 之比當 \(\Delta x \to 0\) 時的極限存在，那么稱函數 \(y = f(x)\) 在點 \(x_0\) 處可導，並稱這個極限為函數 \(y = f(x)\) 在點 \(x_0\) 處的導數，記為 \(f'(x)\) ，即

\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \quad , \]

也可記作 \(y'|_{x = x_0}\)，$$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$ 或 \(\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}\)。

可以看出，導數等於 增量 \(\Delta y\) 和增量 \(\Delta x\) 比值的極限。

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函數的微分

微分的定義： 設函數 \(y=f(x)\) 在某區間內有定義，\(x_0\) 及 \(x_0 + \Delta x\) 在這個區間內，如果函數的增量

\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]

可表示為

\[\Delta y = A \Delta x + \mathit{o}(\Delta x) \]

其中，\(A\) 是不依賴於 \(\Delta x\) 的常數，那么，稱函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 是可微的，而 \(A\Delta x\) 叫做函數 \(y = f(x)\) 在點 \(x_0\) 相應於自變量增量 \(\Delta x\) 的微分，即

\[dy = A \Delta x \]

注： 函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 可微的充要條件是函數 \(f(x)\) 在點 \(x_0\) 可導。

微分的意思是指，因變量的增量 \(\Delta y\)，是自變量的增量 \(\Delta x\) 的線性函數，且記作 \(dy\)。所以說，應該有如下關系：
增量 \(\Delta y\) 是實實在在、真實的變化值。只是，只有當可導的時候，才能寫成 \(\Delta y = A \Delta x + \mathit{o}(\Delta x) = dy + \mathit{o}(\Delta x) = dy + \mathit{o}(dy)\) 。也就是說，微分，只是增量 \(\Delta y\) 的一個近似值。

另外一點，在定義導數的時候，也是用增量 \(\Delta y\) 與 \(\Delta x\) 的比值來定義的，並不是用微分。只是，導數的值，剛好等於微分 \(dy\) 與 \(dx\) 的比值。

注二： 通常把自變量 \(x\) 的增量 \(\Delta x\) 稱為自變量的微分，記作 \(dx\)，即 \(dx = \Delta x\)。於是，函數 \(y = f(x)\) 的微分又可記作為

\[dy = f'(x) dx \]

從而有

\[\frac{dy}{dx} = f'(x) \]

這就是說，函數的微分 \(dy\) 與自變量的微分 \(dx\) 之商等於該函數的導數，因此，導數也叫作“微商”。

微分的幾何意義

如下圖所示，自變量的增量為 \(\Delta x = PR\) ，因變量的增量為 \(\Delta y = RQ\) 。那么，在 \(x_0\) 點作曲線的切線，則得到函數 \(y=f(x)\) 在點 \(x_0\) 相應於自變量增量 \(\Delta x\) 的微分 \(dy = RQ'\) 。

由此可見，對於可微函數 \(y = f(x)\) 而言，當 \(\Delta y\) 是曲線 \(y = f(x)\) 上的點的縱坐標的增量時，\(dy\) 就是曲線的切線上點的縱坐標的相應增量。
只是，當 \(|\Delta x|\) 很小時，$|\Delta y - dy| 比 $|\Delta x| 小得多。因此，在點 M 的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。在局部范圍內用線性函數近似代替非線性函數，在幾何上就是局部用切線段近似代替曲線段。這在數學上稱為非線性函數的局部線性化，這是微分學的基本思想之一。

基本初等函數的微分公式與微分運算法則

從函數的微分表達式

\[dy = f'(x) dx \]

可以看出，要計算函數的微分，只要計算函數的導數，再乘自變量的微分。那么，可得到如下的微分公式和微分運算法則：

（略）

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偏導數

偏導數的定義： 設函數 \(z=f(x,y)\) 在點 \((x_0, y_0)\) 的某一鄰域內有定義，當 \(y\) 固定在 \(y_0\) 而 \(x\) 在 \(x_0\) 處有增量 \(\Delta x\) 時，相應的函數有增量

\[f(x_0 + x, y_0) - f(x_0, y_0) \]

如果

\[\lim{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} \]

存在，那么稱此極限為函數 \(z = f(x, y)\) 在點 \((x_0, y_0)\) 處對 \(x\) 的偏導數，記作

\[\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{\begin{split} x=x_0 \\ y = y_0 \end{split}}, \quad \]

如果函數 \(z = f(x, y)\) 在區域 \(D\) 內每一個點 \((x, y)\) 處對 \(x\) 的偏導數都存在，那么這個偏導數就是 \(x\)，\(y\) 的函數，它就稱為函數 \(z = f(x, y)\) 對自變量 \(x\) 的偏導函數，記作

\[\frac{\partial z}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}, \quad 或 \quad f_x(x, y) \]

類似地，可以定義函數 \(z=f(x,y)\) 對自變量 \(y\) 的偏導函數，記作

\[\frac{\partial z}{\partial y}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}, \quad 或 \quad f_y(x, y) \]

注：偏導數仍然是增量的比值。

偏導數的幾何意義：偏導數 \(f_x(x, y)\) 的幾何意義是曲面被平面 \(y = y_0\) 所截得的曲線在點 \(x_0\) 處的斜率。

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偏微分 / 全微分

根據一元函數微分學中增量與微分的關系，可得

\[\begin{split} f(x+\Delta x, y) - f(x, y) \approx f_x(x, y) \Delta x, \\ f(x, y+\Delta y) - f(x, y) \approx f_y(x, y) \Delta y, \end{split}\]

上面兩式的左端分別叫做二元函數對 \(x\) 和對 \(y\) 的偏增量，而右端分別叫做二元函數對 \(x\) 和對 \(y\) 的偏微分。

全增量： 設函數 \(z = f(x,y)\) 在點 \(P(x, y)\) 的某個鄰域內有定義，\(P'(x + \Delta x, y+\Delta y)\) 為這個鄰域內的任意一點，則稱這兩點的函數值之差 \(f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y)\) 為函數在點 \(P\) 對應於自變量增量 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 的全增量，記作 \(\Delta z\) ，即

\[\Delta z = f(x +\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y) \]

注：一般來說，計算全增量 \(\Delta z\) 比較復雜。與一元函數的情形類似，我們希望用自變量的增量 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 的線性函數來近似地代替函數的全增量 \(\Delta z\)，從而引入如下定義：

全微分的定義： 設函數 \(z = f(x, y)\) 在點 \((x, y)\) 的某個鄰域內有定義，如果函數在點 \((x, y)\) 的全增量

\[\Delta z = f(x +\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y) \]

可表示為

\[\Delta z = A\Delta x +B\Delta y +\mathit{o}(\rho) \]

其中，\(A\) 和 \(B\) 不依賴於 \(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 而僅與 \(x\) 和 \(y\) 有關，\(\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2}\)，那么稱函數 \(z=f(x,y)\) 在點 \((x,y)\) 可微分，而 \(A\Delta x + B\Delta y\) 稱為函數 \(z=f(x,y)\) 在點 \((x, y)\) 的全微分，記作 \(dz\) ，即

\[dz = A\Delta x + B\Delta y \]

可微與可導的關系
定理1： 如果函數 \(z = f(x, y)\) 在點 \((x, y)\) 可微分，那么該函數在點 \((x, y)\) 的偏導數 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 與 \(\frac{\partial z}{\partial y}\) 必定存在，且函數 \(z = f(x, y)\) 在點 \((x, y)\) 的全微分為

\[dz = \frac{\partial z}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y \]

定理2： 如果函數\(z = f(x, y)\) 的偏導數 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 與 \(\frac{\partial z}{\partial y}\) 在點 \((x, y)\) 連續，那么該函數在該點可微分。

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小結

總的來說，講的是 增量、導數、微分 之間的關系。增量是變化的准確值，而微分，則是增量的一個近似值。導數，是該點處的斜率，也是增量比值的極限。