一個最簡單的例子：f(x,y)=x+y
那么全微分df=dx+dy
因為這個f(x,y)對x和y都是線性的，所以df=dx+dy對大的x和y變化也成立。
將x和y方向分開看，x方向每增加dx=1（y不變），f(x,y)增加df=1；y方向每增加dy=1（x不變），f(x,y)也增加df=1；
如果x和y同時增加1（dx=1，dy=1），f(x,y)增加dx+dy=2。
對以上函數f(x,y)，當x和y按1:1變化時，f(x,y)增長最快。
如果換個函數，f(x,y)=2x+y，那么當x和y按2:1變化時，f(x,y)增長最快。
梯度表示f(x,y)增長最快的方向。與梯度相反的方向就是函數減小最快的方向。
反過來說，沿垂直於梯度方向，f(x,y)變化最小（即沒有變化）。
於是，在<x0,y0>的梯度正交於過該點的等高線。
方向導數是說，對於方程z=f(x,y)，當<x,y>從<x0,y0>沿指定方向增加單位向量長度時，f(x,y)增加多少。
當指定方向與梯度不重合時，函數變化就沒有沿梯度方向變化大。