from https://www.zhihu.com/question/30672734
下面從梯度與方向導數的關系來解釋：
1 方向導數
-
引入
原來我們學到的偏導數指的是多元函數沿坐標軸的變化率，但是我們往往很多時候要考慮多元函數沿任意方向的變化率，那么就引出了方向導數
-
定義
（1）方向導數是個數值。
二維空間情形：
我們把f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)的值Value1與PP1的距離value2的比值的極值叫做沿PP1的方向導數。
三維空間計算過程相似；
換句話來說，方向導數就是研究在某一點處的任意方向的變化率~
2 梯度
首先我來說，梯度是一個向量，並不是原來方向導數說的那樣是一個數，那么這個向量是什么特殊的向量呢？還需要拿出來單獨研究，那就是梯度代表的是各個導數中，變化趨勢最大的那個方向，下面來介紹~
-
定義
證明 梯度方向就是方向導數最大的方向，我們看如下：
只有當Θ為0度的時候(
)，方向導數最大（左邊的式子），也就是說方向導數什么情況下最大，就是它的方向(
,
)（這個方向公式中表示用x,y軸的線性組合表示了）和梯度方向一樣(
)（平行）的時候，這個方向導數是最大的....換句話也可以說，方向導數任意方向一定有個變化率最大的方向，這個時候，我們把這個最大的方向定義為梯度方向~
作者：憶臻
鏈接：https://www.zhihu.com/question/30672734/answer/139402480
來源：知乎
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。