费马小定理

定义

对于质数 \(p\)，当 \(a\) 是一个与 \(p\) 互质的整数时有：

\[a^{p-1}\equiv 1\quad (mod\; p) \]

当然也可以化成：

\[a^p\equiv a\quad (mod\; p) \]

证明

数学归纳法

1. 当 \(a=0\) 时，显然成立。

2. 当 \(a^p\equiv a\quad (mod\;p)\) 成立时：

   \[(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \tag1 \]

   我们发现 \(p|C^{i}_{p}\;(i=1,2,\dots,p-1)\)，证明如下：

   \[C^{i}_{p} =\frac{p!}{(p-i)!\times i!} =\frac{p\times (p-1)\times (p-2) \times\dots\times(p-i+1)}{i\times(i- 1)\times\dots\times1} \]

   我们知道，对于 \(1\) 到 \(i\) 的每一个数，在一个长度为 \(i\) 的连续数列中都能找到其整倍数。

   那么\(i,i-1,\dots ,1\) 在 \(p,p-1,p-2,\dots,p-i+1\) 中就会一一对应一个整倍数，如果有重复，会有两种情况，1. 两数互质，那么两数会分别除掉这个整倍数不同的因数。2.不互质，这时我们可以将此数表示成 \(gcd\times x\) 的形式，两数的 \(x\) 互质，可以作为情况 \(1\) 考虑，而既然有 \(gcd\) 的几倍存在，\(gcd\) 这个因子一定出现了多次（次数和 \(gcd\) 的倍数个数一样），分别除即可。

   然而当 \(i\) 不等于 \(p\) 时，只有 \(1\) 能整除质数 \(p\) ，就是说 \(p\) 这个因子会保留下来，那么 \(C^{i}_{p}\) 就一定是 \(p\) 的倍数。

3. 然后我们根据 \((1)\) 式可以得到：

   \[(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \equiv a^p+1\quad(mod\;p) \]

4. 因为我们已知 \(a^p\equiv a\quad (mod\;p)\) 所以：

   \[(a+1)^p\equiv a^p+1\equiv a+1\quad(mod\;p) \]

欧拉定理证明

还未了解欧拉定理的可以去本人博客查看。

• 其实费马小定理就是欧拉定理的特殊情况

• 已知欧拉定理 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1\quad(mod\;p)\) ，当 \(p\) 是质数时， \(\varphi(p) =p-1\) 。

  证毕。

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• \(\frak by\quad \_thorn\)