定義
乘法逆元的定義：若存在正整數a,b,p, 滿足ab = 1(mod p), 則稱a 是b 的乘法逆元, 或稱b 是a 的乘法逆元。b ≡ a-1 (mod p)，a ≡ b-1 (mod p)
比如說, 在模7 意義下,3 的乘法逆元是5, 也可以說模7 意義下5的乘法逆元是3。模13意義下5的逆元是8……
存在性
看起來和同余方程很相似（其實下面真的可以用exgcd求的！），在同余方程中
ab ≡ 1(mod p)
若a 與p 互質, 則一定存在一個正整數解b, 滿足b < p，若a 與p 不互質, 則一定不存在正整數解b.
所以逆元要求a與p互質
求法
求逆元有三種求法，
1、擴展歐幾里得
可以用擴展歐幾里得求，那么是怎么個求法呢？
擴展歐幾里得是用來求這樣的一組解的：ax+by = gcd(a,b)，求x和y，（求出x后自然知道了y，所以算是求一個x）。
逆元呢是求這樣的一個解：ax ≡ 1 (mod b)，（為了方便理解，改了一下變量名），求x，貌似並沒有一點點相似處，那么我們變一下，
ax+by = gcd(a,b)，變成 ax+by = c；
ax ≡ 1 (mod b)，變成 ax-by = 1；如果將y看成負的，ax+by = 1；
完全一樣嘛，所以直接套用擴展歐幾里得求就好了。
代碼
1 #include<cstdio> 2 3 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 4 { 5 if (b==0) 6 { 7 x = 1; 8 y = 0; 9 return a; 10 } 11 int r = exgcd(b,a%b,x,y); 12 int tmp = x; 13 x = y; 14 y = tmp-a/b*y; 15 return r; 16 } 17 18 int main() 19 { 20 //gcd(a,p)==1 21 int a,p,r,x,y; 22 while (scanf("%d%d",&a,&p)!=EOF) 23 { 24 r = exgcd(a,p,x,y); 25 printf("%d",(x%p+p)%p); 26 } 27 return 0; 28 }
2、線性求逆元
先糾正一下變量名，再改回來ab ≡ 1(mod p)，求b
p%a = p-(p/a)*a; 在c++中/為整除。
(p/a)*a = p-(p%a); 換下位置
(p/a)*a = -(p%a); 在模p意義下p可以約掉，可以沒有這一步
a = -(p%a)/(p/a); 再換一下位置
a-1 = -(p%a)-1*(p/a);
所以a-1可以用(p%a)-1推出，所以就可以用遞推式來推出1到a的所有數的逆元。
代碼
1 int inv[MAXN]; 2 void INV(int a,int p)//線性求到a的逆元 3 { 4 inv[1] = 1; 5 for (int i=2; i<=a; ++i) 6 inv[i] = (-(p/i))*inv[p%i]%p; 7 }
下面的代碼只求一個值的逆元，運用的是上面的式子
1 int INV(int a)//線性求a的逆元 2 { 3 if (a==1) return 1; 4 return ((-(p/a)*INV(p%a))%p); 5 }
3、歐拉定理求逆元
歐拉定理：aφ(p) ≡ 1(mod p)
對於任意互質的a,p 恆成立。
歐拉定理用來求逆元用的是歐拉定理的一個推論：
a*aφ(p)-1 ≡ 1(mod p
仔細觀察，a*b ≡ 1(mod p)，在這里的b不就是上面的aφ(p)-1嗎？，所以求出aφ(p)-1就好了。
所以我們用快速冪就可以求出乘法逆元了。
這個方法它需要多算一個歐拉函數，代碼這里不再給出。
補充：其實如果p是質數的話，可以用費馬小定理，與歐拉定理是完全一樣的，費馬小定理在p不是質數時，則只能用歐拉定理。
怎么弄呢？費馬小定理 a(p-1) ≡ 1(mod p) p是質數，且a,p互質，
然后將上面的式子變一下，a*a(p-2) ≡ 1(mod p) ，
再變一下，a(p-2) ≡ a-1 (mod p) ，然后求出a(p-2)就可以了。
然后再看一下歐拉定理，如果p是質數，φ(p) = p-1，那么我們求aφ(p)-1，也就是求a(p-2)。和費馬小定理是一樣的。
應用
我們知道(a+b)%p = (a%p+b%p)%p
(a*b)%p = (a%p)*(b%p)%p
求(a/b)%p時，可能會因為a是一個很大的數，不能直接算出來，也無法像上面一樣分解。
我們可以通過求b關於p的乘法逆元k，k ≡ b-1 (mod p) ，將a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其結果與(a/b) mod p等價。
然后這就成了求a*k%p，然后就可以用那兩個公式了。
個人理解
對於個人的理解逆元，逆元是在運算除時，可以變成乘，方便計算，像上面一樣，a/b(mod p)就可以變成a*b-1，這也就是逆元的本質，必須要在模的意義下才有效。
運算a/b時，我們除以b就相當於乘以1/b，這是個分數，不利於計算，所以我們就找到了一個整數，b的逆元，比如計算12/3（mod 7），這是個除法，所以我們可以這樣12*(1/3)，雖然是乘法了，但是有分數，所以找一個整數使得x，3x≡1(mod 7)，x=5，即模7意義下3的逆元是5，然后我們乘以這個逆元，12*5 = 60,60 mod 7 = 4，誒，12/3 = 4，相等啊，這就是上面所說的性質，