三種求乘法逆元方法詳解

P3811 【模板】乘法逆元

題目背景

這是一道模板題

題目描述

給定n,p求1~n中所有整數在模p意義下的乘法逆元。

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一行n,p

 

輸出格式：

 

n行,第i行表示i在模p意義下的逆元。

 

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

10 13

輸出樣例#1：

1
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3
4

說明

1≤n≤3×10​6​​,n<p<20000528

輸入保證 p 為質數。

 

我們有三種辦法求逆元 

由歐拉定理可知 

當gcd(a,n)==1 時 我們有 A^φ(n-1)≡ 1(mod n) ;

所以 我們有 A*A^φ(n-2) ≡ 1(mod n) 

所以A^φ(n-2) 就是A關於mod n的逆元 

 

/*
    p為素數時 可用費馬小定理 
    longlong*longlong 要慢一點 66分 
*/
#include <cctype>
#include <cstdio>

typedef long long LL;

int n,p;

inline LL quick_pow(LL a,int k) {
    LL ret=1;
    while(k) {
        if(k&1) ret=(ret*a)%p;
        k>>=1;
        a=(a*a)%p;
    }
    return ret;
}

int hh() {
    scanf("%d%d",&n,&p);
    printf("1\n");
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        LL t=quick_pow(i,p-2);
        printf("%d\n",(t+p)%p);
    }
    return 0;
}

int sb=hh();
int main(int argc,char**argv) {;}

 

還有我們可以用exgcd來求逆元 

我們知道 若ax≡1(mod p)  這我們可以寫成 ax=py+1；

移項則有 ax-by=1  這明顯就是擴展歐幾里得

當 ax+by=gcd(a,b)  gcd(a,b) == gcd(b,a%b) 

我們得到 bx1+(a-(a/b)*b)y1=gcd(b,a%b);

則 ax+by=bx1+(a-(a/b)*b)y1 //這里 / 代表整除 

   ax+by=bx1+ay1-b*(a/b)y1 

   ax+by=ay1+b(x1-(a/b)*y1) 

我們得到 x=y1

　　　　 y=x1-(a/b)*y1;

x 即為我們所求的逆元 

由於 x 可能為負數 要(x+p)%p 

 

/*
    EXgcd 求逆元
    比費馬小定理要快一點 83分  
*/
#include <cstdio>
#include <cctype>

int n,p;

inline int exgcd(int a,int b,int&x,int&y) {
    if(!b) {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int p=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return p;
} 

int hh() {
    scanf("%d%d",&n,&p);
    printf("1\n");
    int x,y; 
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        exgcd(i,p,x,y);
        printf("%d\n",(x+p)%p);
    }
    return 0;
}

int sb=hh();
int main(int argc,char**argv) {;}

 

 

但是對於 這個題來講 復雜度還是不夠 

我們還有線性求逆元的方法 

來看帶余除法 式子 p=k*i+r 

我們可以寫成 k*i+r≡0(mod p) 

式子兩邊同乘 i^-1*r^-1 (i^-1,r^-1皆為模p意義下的逆元) 

所以我們有 k*r^-1+i^-1≡0(mod p) 

i^-1≡-k*r^-1(mod p)

i^-1≡-(p/i)*(p%i)^-1(mod p)

這樣我們就線性求得了逆元

#include <cctype>
#include <cstdio>

typedef long long LL;
const int MAXN=3000010;

int n,p;

LL inv[MAXN];

int hh() {
    scanf("%d%d",&n,&p);
    printf("1\n");
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        inv[i]=(LL)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%d\n",inv[i]);
    }
    return 0;
} 

int sb=hh();
int main(int argc,char**argv) {;}