求乘法逆元三種方法

乘法逆元

講一下為什么要學逆元，對於我們平常遇見的

(a - b) % p = a % p - b % p;

(a + b) % p = a % p + b % p;加減法都是沒問題的，都很常見

(a * b) % p = (a % p) * (b % p);乘法我們也通常會遇見

但是除法呢，好像我們一直沒有遇見過，那當我們遇見的時候，也可以這樣取模嗎

既然提出來了，顯然不是的

(a / b) % p != (a % p) / (b % p);

所以我們就要學逆元，因為當我們(a / b)難以計數取模或有可能暴精度的情況下，就需要我們給他轉換成為乘法

這里講三種方法

1、拓展歐幾里得

作為求逆元最常見的方法，但可能不是最常用的，學到后面就知道為什么了

typedef long long ll;
void Exgcd(ll a, ll p, ll &x, ll &y)
{
    if (!p)
        x = 1, y = 0;
    else
    {
        Exgcd(p, a % p, y, x);
        y -= a / p * x;
    }
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    
    ll a, p; //a模p
    ll x, y; //求出來的x就是a在模p下的逆元，y用來輔助
    
    scanf("%lld%lld", &a, &p);
    Exgcd(a, p, x, y);
    x = (x % p + p) % p;
    printf("%lld\n", x);
    return 0;
}

這里可以單獨求出了每個數對模p的逆元，並且對p沒有限制（為什么說這句話，因為第二種方法有限制）

2、費馬小定理

這里對一個數求逆元比較快，也是比較常用的，需要用到快速冪，並且對模p是有限制

一定要記得對p有限制，p一定要是素數

一定要記得對p有限制，p一定要是素數

一定要記得對p有限制，p一定要是素數

我以前看到別人用這個去求任何模數，求求了，看傻了都

代碼比較簡潔，只需要快速冪

a在模p的意義下的逆元，就是a的p-2次方

ll ksm(ll a, ll b, ll p)
{
    ll res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = (res * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);

    ll a, p;
    scanf("%lld%lld", &a, &p);
    ll x = ksm(a, p - 2, p);
    printf("%lld\n", x);

    return 0;
}

3、線性求逆元

這個也比較常用，是用來求連續的一段的逆元

inv[i]等於i在模p意義下的逆元

代碼比較簡潔

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);

    ll a, p;
    scanf("%lld%lld", &a, &p);
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i ++)
        inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        printf("%d ", inv[i]);
    return 0;
}