求逆元的四種方法

 

如果ax≡1(mod p)，且a與p互質（gcd(a,p)=1），則稱a關於模p的乘法逆元為x。（不互質則乘法逆元不存在）

求逆元的四種方法：

1. 費馬小定理
2. 歐拉定理求逆元 （相當於費馬小定理的擴展）
3. 擴展歐幾里德
4. 遞推打表

1、費馬小定理 （p為素數）

 

費馬小定理：  ( a^p - p ) 是 p 的倍數，所以可推出  , 這也是更為常用的書寫形式。

因為 a^(p-1) = a * a^(p-2) , 故費馬小定理可寫成逆元的形式，( a * a^(p-2) ) ≡ 1 （mod p）

因此 a^(p-2) 就是所求的逆元，用快速冪求出即可。

 

LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 
    LL ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL Fermat(LL a, LL p){//費馬求a關於b的逆元 
        return pow_mod(a, p-2, p);
}

 

2、歐拉定理求逆元

 

摘自大佬博客： https://www.cnblogs.com/vongang/archive/2013/06/04/3117370.html

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<deque>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long  LL;
const int N = 100009;

int check[N];
int prime[N];
int phi[N];
int inv[N];
int cnt;

int fast_pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=a*ans;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

void is_prime(int n)
{
    int i,p,j;
    cnt=0;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(j=0;j<cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)
                break;
            check[i*prime[j]]=1;

            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int i,p,j,n;
    is_prime(100);
    scanf("%d",&p);
    for(i=0;i<=10;i++)
        if(i%p)
            inv[i]=(fast_pow(i,phi[p]-1)%p);    //// i關於1模p的逆元
        else
            inv[i]=-1;
    for(i=0;i<=10;i++)
    {
        printf("%d ",inv[i]);
    }
    return 0;
}

 

3、擴展歐幾里德

　　

　　a*x=1 (mod p)  相當於 a*x-y*p=1 (y為整數，最小的x應當是y等於零的時候，所以最后的時候把y賦成0)

　　a*x-y*p=1 , 為了便於理解，將p寫成b，

　　即， a*x+b*y=1。 理解為 a關於 1 模 b 的乘法逆元為 x 。

　　

　　開始的 x，y，d 為任意值，但是不能等於零！！！

　　因為d是 gcd(a,b),所以最后給d賦值為gcd的值。若d為1,說明存在這樣的x，否則不存在。

 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<deque>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long  LL;
const int N = 100009;

void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        d=a;
        return ;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
        LL mid=x;
        x=y;
        y=mid-a/b*y;
    }

    return ;
}
LL inv(LL a, LL b)
{
    LL x,y,d;
    exgcd(a,b,d,x,y);
    return d == 1 ? (x+b)%b : -1;

}
int main()
{
    LL a,p;
    scanf("%lld%lld",&a,&p);
    printf("%lld\n",inv(a,p));
    return 0;
}

 

4、遞推打表

　　令 a*x + b = p.

　　b * inv[b] ≡ 1 (mod p) , 將 b 替換為 p - a*x

　　(p - a * x) * inv[b] ≡ 1(mod p) ,即 p * inv[b] - (a * x * inv[b] ) ≡ 1(mod p)

　　因為 p mod p 等於零， 所以上式變為 -(a * x * inv[b]) ≡ 1(mod p)

　　觀察 a * x + b = p 得 ， 在計算機中 a = p/x , b = p%x .

　　故 - (p/x * inv[p % x] * x) ≡ 1(mod p)

　　因此  -p/x *inv[p % x] ≡ inv[x] (mod p)    

　　

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<deque>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long  LL;
const int N = 100009;

int inv[N];
int main()
{
    int i,p,j,n;
    scanf("%d%d",&n,&p);
    inv[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
        inv[i] = LL(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    for(i=2;i<=n;i++)
        printf("%d %d \n",i,inv[i]);

    return 0;
}