為什么要有逆元
我們知道 \((512 / 8) % 13 = 64 % 13 = 12\)，顯然他是不遵循 \((512 \% 13) / (8 \% 13)\) 的，因此這里就要用到逆元了。
逆元的定義 \(a * b \equiv 1 (mod\ p)\)，a，p互質 b 就是 a 的逆元。
同時有 \(a * b + p * c \equiv 1 (mod\ p)\)
拓展歐幾里德求逆元
這個過程也就似乎求解方程 \(a * x + b * y = 1\) 的過程， 但是有一個要注意的就是要保證最后求得的 x 是要大於0的，
也就是要對最后求得的 x 進行 x = (x % b + b) % b 一步操作。
代碼
/*
Code by lifehappy 2020:04:23
*/
#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if(!b) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return gcd;
}
int main() {
int a, b, x, y;
while(cin >> a >> b) {
exgcd(b, 13, x, y);
x = (x % 13 + 13) % 13;
printf("%d\n", (a * x) % 13);
}
return 0;
}
費馬小定理
關於費馬小定理的正確性這里就不證明了。
我們知道,假設p是一個質數 \(a ^ {p-1} \equiv 1 (mod \ p)\)
同樣的我們就可以得到 \(a ^ {p-2} \equiv a ^ {-1} (mod \ p)\)
所以其核心我們就可以變成一個快速冪了。
代碼
/*
Code by lifehappy 2020:04:23
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
ll quick_pow(ll b, ll n) {
ll ans = 1, po = b;
while(n) {
if(n & 1) ans = (ans * po) % mod;
po = (po * po) % mod;
n >>= 1;
}
return ans;
}
int main() {
ll a, b;
while(cin >> a >> b) {//計算(a / b) % mod;
b = quick_pow(b, mod - 2);
cout << (a * b) % mod << endl;
}
return 0;
}
線性求解逆元
我們先假定 \(p = k * i + j\ 1 < i < p, j < i\)
我們可以得到\(p = k * i + j \equiv 0(mod\ p)\)
對兩邊同時乘以\(i ^ {-1}, j ^ {-1}\)
得到\(k * j ^ {-1} + i ^ {-1} \equiv 0(mod\ p)\)
有\(i ^ {-1} \equiv -k * j {-1}\)
因為j < i 我們可以通過這個遞推關系得到
\(a[i] = -(p / i) * a[p \% i]\)從而的到（1 ~ n)的逆元。
在此之前我們還得知道\(1 ^{-1} \equiv 1(mod\ p)\)
代碼
/*
Code by lifehappy 2020:04:23
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1e3 + 10, mod = 1e9 + 7;
ll a[N];
int main() {
a[1] = 1;
for(ll i = 2; i < N; i++) {
a[i] = -(mod / i) * a[mod % i];
a[i] = (a[i] % mod + mod) % mod;
}
for(int i = 1; i <= 10; i++)
printf("%lld %lld\n", a[i], ((long long)i * a[i]) % mod);
return 0;
}
上面代碼運行情況
