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什么是逆元？
若$x$滿足
$a*x\equiv 1(\mod p)$
我們稱$x$是$a$在$\mod p$意義下的逆元
逆元的基本解法
https://loj.ac/problem/110
1.快速冪
當p為素數
根據費馬小定理
$a^{(p-1)}\equiv 1(mod p)$
${\color{Green}a*a^{(p-2)}\equiv 1(mod p) }$
帶入快速冪就好啦
時間復雜度:$O(log_2^p)$
1 #include<cstdio> 2 #define LL long long 3 using namespace std; 4 const LL MAXN=200000001; 5 LL n,mod; 6 LL fastpow(LL val,LL p) 7 { 8 LL base=1; 9 while(p) 10 { 11 if(p&1) base=(base*val)%mod; 12 val=(val*val)%mod; 13 p>>=1; 14 } 15 return base; 16 } 17 int main() 18 { 19 scanf("%lld%lld",&n,&mod); 20 for(LL i=1;i<=n;i++) 21 printf("%lld\n",fastpow(i,mod-2)%mod); 22 return 0; 23 }
2.擴展歐幾里得
對於$a*x\equiv 1(mod p)$
他的另一種寫法為
$a*x+p*y=1$（想一想,為什么）
擴展歐幾里得,帶入求解
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 int n,mod; 6 inline int read() 7 { 8 char c=getchar();int flag=1,x=0; 9 while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();} 10 while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar(); return x*flag; 11 } 12 int x,y; 13 int gcd(int a,int b) 14 { 15 return b==0?a:gcd(b,a%b); 16 } 17 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 18 { 19 if(b==0) 20 { 21 x=1,y=0; 22 return a; 23 } 24 int r=exgcd(b,a%b,x,y); 25 int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y; 26 return r; 27 } 28 int main() 29 { 30 n=read(),mod=read(); 31 for(int i=1;i<=n;i++) 32 { 33 int g=exgcd(i,mod,x,y); 34 while(x<0) x+=mod; 35 printf("%d\n",x); 36 } 37 return 0; 38 }
時間復雜度:$O(log_2^n)$
3.遞推
前兩種方法常用來求單個逆元
對於逆元的需要量比較大的時候，我們可以使用遞推的方法來求逆元
前提條件：$P$為素數
推導過程
設$t=P/i$
$k=P \mod i$
顯然有
$t*i+k \equiv 0 (\mod P)$
$k \equiv -t*i(\mod P)$
兩側同除$i*k$,把$t$和$k$帶入
$inv[i] \equiv -p/i*inv[p \mod i] (\mod p)$
這里需要注意一個事情，
對於 $a\mod p$當$a<0$時，
應為$(a+p) \mod p$
這樣就可以把原式的$\mod p$消掉，得
$inv[i]=P-P/i*inv[P\mod i]$
這樣就可以進行線性的遞推啦
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #define LL unsigned long long 6 using namespace std; 7 const LL MAXN=200000001; 8 inline LL read() 9 { 10 char c=getchar();LL flag=1,x=0; 11 while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();} 12 while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar(); return x*flag; 13 } 14 LL inv[MAXN]; 15 LL n,p; 16 int main() 17 { 18 n=read(),p=read(); 19 inv[1]=1; 20 printf("1\n"); 21 for(int i=2;i<=n;i++) 22 { 23 inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p; 24 printf("%d\n",inv[i]); 25 } 26 return 0; 27 }
時間復雜度：$O(n)$
總結
在求多個數的逆元的時候，推薦使用遞推算法
在求單個數的逆元的時候，推薦使用擴展歐幾里得算法
因為擴展歐幾里得算法不受模數的限制，而且自測運行效率比快速冪高不少