除法求模中求逆元的兩種方法

　首先對於模運算來說，是沒有對於除法的取模的（即沒有(a/b)%mod==a%mod/b%mod），但是在很多題目中都涉及到除法取模，所以就必須要了解或者掌握，對於除法取模以(a/b)%mod來說，我們首先需要得到b的逆元，根據逆元的定理 對於正整數a和m，如果有，那么把這個同余方程中x的最小正整數解叫做a模m的逆元。

　　然后就是求逆元的兩種方法。

　　第一種方法就是比較普遍的，也是挺基礎的，就是通過費馬小定理來求，但是要求mod必須是素數（一般題目中都會是1e9+7）。

　　費馬小定理 ：假如a是整數，p是質數，則a,p顯然互質(即兩者只有一個公約數1)，那么我們可以得到費馬小定理的一個特例，即當p為質數時候， a^(p-1)≡1(mod p)。

　　即可以得到a*a^(p-1)=1(%M）；

　　也是我們就可以將除法取模轉化為乘法取模 (a/b)%mod==a*b^(mod-2)%mod,但是對於b^(mod-2)來說，也挺難算的，這里就需要用到快速冪。

　　最后貼上代碼片段

　　

const long long mod=1e9+7;
long long power_mod(long long a, long long b, long long mod)
{
    long long ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

 a*power_mod(b,mod-2,mod)%mod

　　第二種方法就是通過拓展歐幾里得算法求逆元

　　

　　擴展歐幾里得定理:對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

 

　　對於乘法逆元來說 a*x≡1（mod m） 也就等價於 a*x + m*y ==1 即當gcd（a，m）==1時就有拓展歐幾里得定理，即求解這個方程解出的x就是a的逆元。

　　

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) 
{
    if(0 == b){
        x = 1, y = 0;
        return ;
    }
    exgcd(b, a%b, x, y);
    int flag = x;
    x = y;
    y = flag - a/b * y;
}