關於取模運算 和 求逆元

 

 先分享2個式子

 

當模式左邊有除法：

 

今天了解了2個，感覺這2個很棒~，尤其第一個：

 

1、$\dfrac {a} {b}\% m=\dfrac {a \%\left( b\cdot m\right) } {b}$    要求：a能整除b。（不知道用了什么奇技淫巧。。。）

 

2、$\dfrac {a} {b}\% m=(a\cdot b^{m-2} )\%m$     要求：gcd（b , m）== 1 且 m為素數   且 a能整除b （利用費小馬定理）

 

 

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b在模m 下存在逆元的條件： b與m互質（ 即gcd（b,m） == 1 ）。

求逆元又分三種方法，拓展歐幾里得法，歐拉函數法，費小馬法。從一般到特殊吧：

 1、拓展歐幾里得法：

　　要求：a與m互質。

代碼：

 

void ext_gcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        ext_gcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x*(a/b);
    }
}

int mod_inverse(int a, int m)
{
    int x, y,d;
    ext_gcd(a, m, d, x, y);
    return (m + x % m) % m;
}

 

 

2、歐拉函數法

　　要求：b與m互質。

令$\phi \left( m\right) $表示小於等於且與互素的正整數的個數。 

如果b和m互質（逆元存在條件），則有$b^{\phi \left( m\right)}\equiv 1\left( modm\right) $ 。即$b\ast b^{\phi \left( m\right)-1}\equiv 1\left( modm\right) $，$b^{\phi \left( m\right)-1} $即為b的逆元

特殊的，當m為質數的情況下 ，$\phi \left( m\right) =m-1$，即費小馬定理。

重點在於求解歐拉值

利用歐拉函數的積性性質：

　　對任意的整數n，可以將他分解為$n=p_{1}^{k_{1}}\ast p_{2}^{k_{2}}\ast p_{3}^{k_{3}}... p_{m}^{k_{m}} $，其中p_i為質數，

　　其中$\phi \left( n\right) =\phi \left( p_{1}^{k_{1}}\right) \ast \phi \left( p_{2}^{k_{2}}\right) ... \phi \left( p_{m}^{k_{m}}\right)  $

　　最后轉化為：$\phi \left( n\right) =n\ast \prod \left( p_{i}-1\right) / p_{i}$

代碼：

 

int eurler_phi(int n)
{
    int res = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n != 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

 

 

3、費小馬定理法

要求：b與m互質，且 m為質數

　　在m是素數的情況下，對任意整數b都有$b^m \equiv b(mod)m$

　　如果b無法被p整除，則有$b^{m-1} \equiv 1(modm)$

　　可以在p為素數的情況下求出一個數的逆元，$b * b^{m-2} \equiv 1(mod m)$，$b^{m-2}$即為逆元。

 

代碼：可用快速冪冪