多項式模2運算及求逆元

在GF(2⁸)域上，多項式相加相減結果相同，均為異或操作

x³+x²+1    對應的二進制為   1101       用整數表示就是  13

x²+x+1     對應的二進制為    0111　　用整數表示就是  7

x³+x²+1  +  x²+x+1  = x³+2x²+x+2  = x³+x    等同於 1101⊕0111  = 1010    用整數表示就是 10  既是 13⊕7

def add(a, b):
    return a^b

def sub(a, b):
    return a^b

在GF(2⁸)域上，多項式乘法

先模擬一下模2乘法運算

getBit的實現，乘法的實現

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    num為正整數並且小於32位
'''


def getBit(num):
    bit = 0
    top_bit = 1
    for i in range(32):
        if top_bit & num != 0:
            bit = i + 1
        top_bit <<= 1
    return bit

# a、b為二進制的整數表示  
def multiply(a, b):
    len1 = getBit(a)   # getBit函數返回 此整數表示的二進制的長度
    len2 = getBit(b)     #  假設 a=10 表示的二進制為 1010  則len1=4
    res_len = int(len1 + len2 - 1)

    res = 0x0
    for i in range(len1):
        temp = b * (a & 0x1)  # 每次a的第一位與b相乘
        temp <<= i  # 結果左移
        res ^= temp  # 異或 模2
        a >>= 1
    return res

除法的實現

 

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    多項式模2除法   X^3 / X^3+X+1   商 1 余 X+1  與整數相除略有不同
    返回值為整數 （商， 余數）
'''
def divide_and_mod(a, b):
    len1 = getBit(a)
    len2 = getBit(b)
    len3 = len1 - len2

    if a < b:
        if len3 == 0:
            return (1, a^b)
        else:
            return (0, a)

    top_bit = 1;
    top_bit <<= (len1 - 1)
    b <<= (len1 - len2)

    quotient = 0  # 商
    remainder = 0  # 余數

    # 除法運算，最后不包含
    for i in range(len3):

        quotient <<= 1

        if top_bit & a != 0:  # a最高位為1,則商為1
            quotient ^= 1
            a ^= b
        else:
            a ^= 0

        top_bit >>= 1
        b >>= 1

    # 最后一次運算與之前的運算規則不同，需要比較大小
    quotient <<= 1
    if a < b:
        remainder = a
    else:
        quotient ^= 1
        remainder = a ^ b

    return (quotient, remainder)

求最大公因式及逆元有歐幾里得算法和擴展歐幾里得算法得到

def divide(a, b):
    q, r = divide_and_mod(a, b)
    return q


def mod(a, b):
    q, r = divide_and_mod(a, b)
    return r


def gcd(a, b):
    r = mod(a, b)
    while r != 0:
        a = b
        b = r
        r = mod(a, b)
    return b

def findModInverse(a, m):
    if gcd(a, m) != 1:
        return None
    x1, x2 = 1, 0
    y1, y2 = 0, 1
    r = 1
    while r != 0:
        q = divide(m ,a)
        r = mod(m, a)
        x1, y1 = sub(x1, multiply(q, x2) ), sub(y1, multiply(q, y2))
        x1, x2 = x2, x1
        y1, y2 = y2, y1
        m, a = a, r

    return y1