多項式求逆

定義

設\(\displaystyle f(x) =\sum^{n-1}_{k=0}a_kx^k\)求\(g(x) =\sum^{n-1}_{k=0}b_kx^k\)，使得
\(\displaystyle f(x)g(x)\equiv 1 (\mod x^n)\)

即\(\displaystyle f(x)g(x)\) 的前\(n\)項中只有常數項為\(1\)，其余項均為\(0\)，稱為

求\(f(x)\)模\(\displaystyle x^n\)的逆元，或簡稱求\(f(x)\)的逆元。

多項式可逆當且僅當其常數項可逆，證明見“方法一”\(\displaystyle b_0=\frac{1}{a_0}\)

方法1：分治FFT

從常數項出發，比較系數得\(\displaystyle b_0=\frac{1}{a_0}\)且\(\displaystyle \sum^k_{i=0}b_ia_{k-i}=0\)那么有

\[b_k=\sum^{k-1}_{i=0}b_i(-\frac{a_{k-i}}{a_0}) \]

從而可以通過分治FFT 計算，時間復雜度\(\displaystyle \Theta(n \log^2 n)\)。

方法2：倍增法

考慮倍增，從局部的逆元（低次）出發，設\(\displaystyle g_0(x) = g(x) \mod x^k\)，那么有

\[f(x)g_0(x)-1\equiv 0 (\mod x^k) \]

從而有

\[f(x)g_0(x)-1)^2\equiv 0 (mod x^{2k}) \]

可以發現模的次數增加了，此時展開左邊可得

\[g(x)\equiv g_0(x)(2-f(x)g_0(x))(\mod x^{2k}) \]

從而可以算出\(g(x)\)的前\(2k\)項。

通過攤還分析得時間復雜度為\(\displaystyle \Theta(n \log n)\)

實現

多項式求逆的實現不難，兩種方法都可以，但第二種更快，也更容易實現，故此處以方法二為例。
我們每次遞歸算出模\(\displaystyle x^{\frac{n}{2}}\)的逆元，記為\(g_0\)，再套用\(\displaystyle g(x)\equiv g_0(x)(2-f(x)g_0(x))(\mod x^{2k})\)，用FFT計算即可

void solve(LL *a,LL *b,int p){/*a:seq,b:inv*/
	if(p==1){
		b[0]=fpm(a[0],MOD-2);
		return;
	}
	solve(a,b,(p+1)>>1);
	lim=1; L=0;
	while(lim<(p<<1)){
		lim<<=1;
		L++;
	}
	for(int i=0;i<lim;i++)
		rev[i]=rev[i>>1]>>1|(1&i)<<(L-1);
	for(int i=0;i<p;i++)
		tmp[i]=a[i];
	for(int i=p;i<lim;i++)
		tmp[i]=0;
	NTT(tmp,1); NTT(b,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)
		b[i]=(2-b[i]*tmp[i]%MOD+MOD)%MOD*b[i]%MOD;
	NTT(b,-1);
	for(int i=p;i<lim;i++)
		b[i]=0;
}

例題

[P4238 【模板】多項式求逆](%3Ca href="https://www.luogu.org/problem/P4238"%3Ehttps://www.luogu.org/problem/P4238%3C/a%3E)

這是純粹的模板題，直接給代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7,MAXN=3e6+10/*Min:2^20+10*/;
const LL G=3,MOD=998244353,INV=332748118;
inline LL fpm(LL base,LL p){
	LL ret=1;
	while(p){
		if(p&1)
			ret=ret*base%MOD;
		base=base*base%MOD;
		p>>=1;
	}
	return ret%MOD;
}
int N,M,lim=1,L,rev[MAXN];
inline void NTT(LL *a,int type){
	for(int i=0;i<lim;i++)
		if(i<rev[i])
			swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		int len=mid<<1/*n*/;
		LL Wn=fpm(G,(MOD-1)/len);
		for(int j=0;j<lim;j+=len){
			LL w=1,t1,t2;
			for(int k=0;k<mid;k++){
				t1=a[j+k],t2=w*a[j+k+mid]%MOD;
				a[j+k]=(t1+t2)%MOD;
				a[j+k+mid]=(t1-t2+MOD)%MOD;
				w=w*Wn%MOD;
			}
		}
	}
	if(type==-1){
		LL lim_inv=fpm(lim,MOD-2);
		reverse(a+1,a+lim);
		for(int i=0;i<lim;i++)
			a[i]=a[i]*lim_inv%MOD;
	}
}
LL tmp[MAXN];
void solve(LL *a,LL *b,int p){/*a:seq,b:inv*/
	if(p==1){
		b[0]=fpm(a[0],MOD-2);
		return;
	}
	solve(a,b,(p+1)>>1);
	lim=1; L=0;
	while(lim<(p<<1)){
		lim<<=1;
		L++;
	}
	for(int i=0;i<lim;i++)
		rev[i]=rev[i>>1]>>1|(1&i)<<(L-1);
	for(int i=0;i<p;i++)
		tmp[i]=a[i];
	for(int i=p;i<lim;i++)
		tmp[i]=0;
	NTT(tmp,1); NTT(b,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)
		b[i]=(2-b[i]*tmp[i]%MOD+MOD)%MOD*b[i]%MOD;
	NTT(b,-1);
	for(int i=p;i<lim;i++)
		b[i]=0;
}
LL a[MAXN],b[MAXN];
int main(){
	scanf("%d",&N);
	for(int i=0;i<N;i++){
		scanf("%lld",a+i);
		a[i]=(a[i]+MOD)%MOD;
	}
	solve(a,b,N);
	for(int i=0;i<N;i++)
		printf("%lld ",b[i]);
	return 0;
}

[P4239 【模板】多項式求逆（加強版）](%3Ca href="https://www.luogu.org/problem/P4239"%3Ehttps://www.luogu.org/problem/P4239%3C/a%3E)

這道題是在任意模數下的多項式求逆，需要將上一個板子的NTT改成MTT