求逆元算法

費馬小定理：若p是素數，a是正整數且不能被p整除，則a^p-1 == 1(mod p)

費馬小定理的拓展：a^p == a(mod p)

歐拉定理：對任意互素的a和n. 設Φ(n) 為小於n且與n互素的正整數的個數，有a^Φ(n) == 1(mod n)

歐拉定理的拓展：a^Φ(n)+1 == a(mod n)

求乘法逆元的作用：除以一個數 再取模時，可以將這個數乘以這個數的逆元 再取模（將除法轉化成乘法運算）

為什么要這樣等價：對於 (a/b)% mod 這個式子，是不可以等價為 ((a%mod) / (b%mod))%mod 的 (例如：a=3，b=2，mod=3)，但是可以寫為(a*b^-1)%mod，其中b^-1表示b的逆元。這就是逆元的作用

引用計蒜客某題面：

什么是乘法逆元：a*x = 1（mod C），那么稱 x 為 a 對 C 的乘法逆元

e.g. a = 4，C = 7 則逆元 x = 2;

　　4*2=1(mod 7)          12/4%7 = (12*2)%7 (除法換乘法）

用一道入門題來來學習三中模板：https://www.luogu.org/problem/P3811

 

模板一：

線性打表遞推法：（遞推公式：inv[i] = (p-p/i) * inv[p%i] % p )

這種方法最快，但是耗費的空間多

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <ctime>
#include <climits>
#include <utility>
#include <deque>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll inv[3000006];
int main()
{
    ll a, p;
    while(~scanf("%lld %lld", &a, &p) )
    {
        memset(inv, 0, sizeof(inv));
        inv[0] = 1;
        inv[1] = 1;
        for(ll i=2; i<=a; i++ )
            inv[i] = (p-p/i)*inv[p%i]%p;
        for(ll i=1; i<=a; i++ )
            printf("%lld\n", inv[i]);
    }
    return 0;
}

模板二：

拓展歐幾里得算法

這道題我用這個方法TLE了，這個次慢

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <ctime>
#include <climits>
#include <utility>
#include <deque>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
typedef long long ll;

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if( b==0 )
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= (a/b)*x;
    return ;
}

int main()
{
    ll a, p;
    ll x, y;
    while( ~ scanf("%lld %lld", &a, &p) )
    {
        for(ll i=1; i<=a; i++ )
        {
            exgcd(i, p, x, y);
            x = (x%p+p)%p;
            printf("%lld\n", x);
        }
    }
    return 0;
}

模板三：

費馬小定理算法：（快速冪（a，p-2，p）），前提是a p互質，這個也TLE了，這個最慢

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <ctime>
#include <climits>
#include <utility>
#include <deque>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll fpm(ll x, ll power, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    for( ; power; power>>=1,(x*=x)%=mod )
    if( power&1 )
        (ans*=x)%=mod;
    return ans;
}

int main()
{
    ll a, p;
    ll x, y;
    while( ~ scanf("%lld %lld", &a, &p) )
    {
        for(ll i=1; i<=a; i++ )
        {
            printf("%lld\n", fpm(i,p-2,p));
        }
    }
    return 0;
}