乘法逆元，有 一个作用就是，除以一个数再取模时，可以将这个数乘以这个数的逆元再取模，就是将除法运算转化为乘法运算，举个例子：
先说一下什么是逆元：若对于数字A,C 存在X，使A * X ≡ 1 (mod C) ,那么称X为 A 对C的乘法逆元。
比如：( 4 , 7 ) 的逆元是2，4*2≡ 1（mod 7）
12 / 4mod 7=（12 / 4）* (4 * 2) mod 7
这样看除法就被转化为乘法了；
关于逆元有三种求法：
1、费马小定理 （O(nlogn)的复杂度，但若n达到1e7会爆炸，所以需要线性求逆元的方法）
根据费马小定理，我们可得出当p是素数时，对任意x，都有x^(p)≡ x(modp),
若x无法被p整除，那么x^(p-1)≡ 1(modp),
那么可得出当模数p为素数x^(p-2)就是x的逆元。
代码如下：
const ll mod=1e9+7; ll pow_mod(ll a,ll b) { ll res=1; while(b>0) { if(b&1)res=res*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return res; } ll inv(ll a) { return pow_mod(a,mod-2); }
2、扩展欧几里德算法
a*x + b*y = 1
如果ab互质，有解。
那么两边同时modp
ax%p≡1%p那么ax≡1(modp)
x就是a关于b的逆元
ll x,y,mod; ll extgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y) { ll d=a; if(b!=0) { d=extgcd(b,a%b,y,x); y-=(a/b)*x; } else x=1,y=0; return d; } ll inv(ll a) { ll d=extgcd(a,mod,x,y); return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1; } int main() { while(cin>>x>>mod) { cout<<inv(x)<<endl; } return 0; }
3、逆元线性筛法
用来求1,2,3....n关于p的逆元，复杂度O(n)
#define MAX 2005
const ll mod=1e9+7; int inv[MAX]; int main() { ll x; inv[1]=1; for(int i=2;i<MAX;i++) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod; while(cin>>x) { cout<<inv[x]<<endl; } return 0; }
以上的代码均是本人测试过，如有错误，欢迎指正！
参考博客：https://blog.csdn.net/qq_37632935/article/details/77806853
https://blog.csdn.net/nucshiyilang/article/details/62044362