同余定理
同余定理是数论中的重要概念。给定一个正整数\(m\),如果两个整数\(a\)和\(b\)满足\((a-b)\)能被\(m\)整除,那么我们就称整数\(a\)与\(b\)对模\(m\)同余,记作\(a\equiv b(mod \: m)\)。
自我理解:两个数同时除以\(m\)得到的余数相同。
一、同余
定义:设\(m\)是大于\(1\)的正整数,\(a,b\)是整数,如果\(m|(a-b)\),则称\(a\)与\(b\)关于模\(m\)同余,记作\(a\equiv b(mod \: m)\)。
定理1:整数\(a,b\)对模\(m\)同余的充要条件是\(a-b\)能被\(m\)整除(即\(m|a-b\))。
推论:\(a\equiv b(mod\:m)\)的充分条件是\(a=m\times t+b\)(\(t\)为整数)。
表示对模\(m\)同余关系的式子叫做模\(m\)的同余式,简称同余。
定理2:同余关系具有反身性,对称性与传递性,即
- \(a\equiv a(mod\:m)\);
- 若\(a\equiv b(mod\:m)\),则\(b\equiv a(mod\:m)\);
- 若\(a\equiv b(mod\:m),b\equiv c(mod\:m)\),则\(a\equiv c(mod\:m)\)。
定理3:若\(a\equiv b(mod\:m),c\equiv d(mod\:m)\),则
- \(a+c\equiv b+d(mod\:m)\);
- \(a-c\equiv b-d(mod\:m)\);
- \(a\times c\equiv b\times d(mod\:m)\).
对于多个的同模同余式也能进行加减乘运算。对于乘法运算还有一下推论:
推论:若\(a\equiv b(mod\:m)\),\(n\)为自然数,则\(a\times n\equiv b\times n(mod\:m)\)。
定理4:若\(c\times a\equiv c \times b(mod\:m),(c,m)=d\),且\(a,b\)为整数,则\(a\equiv b(mod\:\frac{m}{d})\)。
推论:若\(c\times a\equiv c\times b(mod\:m),(c,m)=1\),且\(a,b\)为整数,则\(a\equiv b(mod\:m)\)。
定理5:若\(a\equiv b(mod\:m),a\equiv b(mod\:n)\),则\(a\equiv b(mod\:[m,n])\)。
推论:若\(a\equiv b(mod\:m_i),i=1,2,\dots,n\),则\(a\equiv b(mod\:[m_1,m_2,\dots,m_n])\)。
定理6:若\(a\equiv b(mod\:m),n|m\),则\(a\equiv b(mod\:n)\)。
定理7:若\(a\equiv b(mod\:m)\),那么\(a^n\equiv b^n(mod\:m)\)。
同余证一些特殊数的整除特征:
- 正整数\(a\)是\(9\)的倍数必须且只须\(a\)的各位数码之和是\(9\)的倍数。
- 设\(a=a_na_{n-1}\dots a_1a_0\),\(11|a\)的充要条件是\(11|a_0-a_1+a_2-\dots+(-1)^na_n\)。
- 正整数\(a\)能被\(7\)整除的条件是\(a_0-a_1+a_2-\dots+(-1)^na_n\equiv0(mod\:7)\),这里的\(a_1\)为三位数(千进制)。
算法应用:
定义2:如果\(m\)为自然数,集合\(k_i=\{x|x=m\times t+i,i是任意整数\},r=0,1,\dots,n\)。则称\(k_0,k_1,\dots,k_{m-1}\)为模\(m\)的剩余类。
剩余类具有如下比较明显的性质:
- 模\(m\)的剩余类\(k_0,k_1,\dots,k_{m-1}\)都是整数的非空子集;
- 每个整数必属于一个剩余类;
- 两个整数属于同一个剩余类的充要条件是它们对模\(m\)同余。
定义3:从模\(m\)的每个剩余类中任取一个数,所得到的\(m\)的个数叫做模\(m\)的完全剩余系。
定理6:\(k\)个整数\(a_1,a_2,\dots,a_k\)构成模\(m\)的完全剩余系的充要条件是\(k=m\),且这\(m\)个数对模\(m\)两两不同余。
定理7:若\(x_1,x_2,\dots,x_m\)是模\(m\)的完全剩余系,\((a,m)=1,b\)为整数,则\(a\times x_1+b,a\times x_2+b,\dots,a\times x_m+b\)也是模\(m\)的完全剩余系。
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