循環群、對稱群、陪集和拉格朗日定理、正規子群和商群

元素的階

設<G,·>是群，a∈G,a的整數次冪可歸納定義為：

1. a⁰ = e
2. aⁿ⁺¹ = aⁿ· a, n∈N
3. a^-n = (a^-1)ⁿ, n∈N

容易證明，∀m,n∈I,a^m··aⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.

定義：設<G,·>是群，a∈G,若∀n∈I₊,aⁿ ≠ e,則稱a的階是無限的；否則稱使得aⁿ = e的最小整數n為a的階，此時a的階也稱為a的周期，常用|a|表示

• 在群<I,+>中，∀i∈I - {0}，i的階都是無限的
• 在群<N₄,+₄>中，|0| = 1|,|1| = 4,|2| = 2,|3| = 4

定理：設<G,·>是群，a∈G，且|a| = n，k∈I，則$|a^k| = \frac{n}{(k,n)}$.特別地，|a^-1| = |a|

 

循環群

循環群：在群(G，·)中，若存在a∈G,使得G = {aⁿ | n∈G}，則稱(G,·)為循環群。

• (Z，+)是一個無限階循環群，生成元是1和-1
• <N_m,+_m>是m階循環群，生成元是1

循環群的結構相當簡單，我們完全可以刻畫出全部循環群的同構類

定理：設群G = (a),則循環群只有兩種。若|a|無限，則G≌<I,+>；若|a|=n∈I₊，則 G≌<N_n,+n>

由本定理有，同階的循環群必同構，因此把n階循環群記作C_n

推論：設G是n階有限群,a∈G，則G = (a)當且僅當|a| = n。

就是上面定理的推論，此推論說明循環群生成元的階與群的階是相同的

 

定理：設群G=(a)

• 若G是無限群，則G只有兩個生成元a和a^-1
• 若|G| = n∈I₊，則G=(a^r)當且僅當(r,n) = 1，即生成元有φ(n)個，其中φ(n)為歐拉函數

證：

（1）必要性：已知a是生成元，因為a = (a^-1)^-1，所以a^-1也是生成元。充分性：設a^m∈G是生成元，即G = (a^m)，因為a∈G，所以∃t∈I，使得a = (a^m)^t，所以a^mt-1=e.因為G是無限群，mt-1=0，故m=t=1或m=t=-1，故只有兩個生成元a和a^-1.

（2）必要性：設G=(a^r)，由前面的推論知|a^r| = n，由前面關於元素的階的定理得$|a^r| = \frac{n}{(r,n)}$，故(r,n) = 1。充分性：設(r,n) = 1，則∃s,t∈I使得rs + nt = 1，於是$a = a^{rs+nt} = {(a^r)}^s·{(a^n)}^t$，因為|a| = n，aⁿ = e，所以a = (a^r)^s，故G = (a^r).

例如：設G為12階循環群{e,a,a²,...,a¹¹}，因為與12互質的12以內的數有1,5,7,11,所以G有4個生成元，分別是a,a⁵,a⁷,a¹¹.

 

定理：設群G=(a)，|G|=n，則對於n的每個正因子d，有且僅有一個d階子群，因此，n階循環群的子群的個數恰為n的正因子的個數.

例如：12階循環群有6個子群，分別是(a),(a²),(a³),(a⁴),(a⁶),(a¹²).

 

變換群

我們知道，給定一個集合A，<A^A,°>是亞群，其中°是函數合成運算，令P_A為A到A的所有雙射的集合，則<P_A,°>是群，其中1_A是單位元，每個f∈P_A的逆元是其逆函數f^-1.

變換群：設A為集合，群<P_A,°>的子群稱為A的變換群

Cayley定理：任意一個群都與某個變換群同構。證明略

 

置換群是特殊的變換群，在代數中有重要地位

 

對稱群和置換群

對稱群：設S是非空有限集，S_n是S的所有置換的集合（n是集合的基數），°是函數的復合運算，則<S_n,°>是一個群，稱作n次對稱群。易知|S_n| = n!

置換群：對稱群的子群稱為置換群，含有n個元素的子群稱為n次置換群

作為Cayley定理的直接推論，我們有

推論：任意一個有限群都與某個置換群同構

 

置換還有第二種表示方法，為此需要引入循環的概念

定義：把S中的元素i₁變成i₂，i₂變成i₃，... i_k又變成i₁，並使S中的其余元素保持不變的置換稱為循環，也稱輪換，記(i₁ i₂  ... i_k)，k稱為循環長度。特別的，長度為2的循環稱為對換.

注意，同一循環的表示並不唯一。長度為1的循環是恆等置換。

例如：$$\bigl(\begin{smallmatrix}
1 \, 2 \, 3 \, 4 \, 5 & \\
4 \, 2 \, 5 \, 3 \, 1 &
\end{smallmatrix}\bigr)$$

定理：

• 任意置換都可表示成若干無公共元素的循環之積
• 任意置換都可表示成若干個對稱之積，且對換個數的奇偶性不變

 

陪集

定義：設H是群G的子群，a∈G.

1. 集合a·H = {a·h | h∈H} 稱為H關於a的左陪集
2. 集合H·a = {h·a | h∈H} 稱為H關於a的右陪集

定理：設H是群G的子群，在G上定義二元關系R為：對任意a,b∈G，(a,b)∈R當且僅當b^-1a∈H，則R是G上的等價關系，且其對應的等價類與左陪集相同，為R(a) = a·H。類似的，在G上定義二元關系R為：對任意a,b∈G，(a,b)∈R當且僅當ab^-1∈H，則R是G上的等價關系，且其對應的等價類與右陪集相同，為R(a) = H·a。

證：（1）先證明R是等價關系，自反性：∀a∈G，因為a^-1 · a = e∈H，所以aRa。對稱性：：∀a,b∈G，若aRb，b^-1 · a∈H，由於H是群，一個元素的逆元也在群中，所以(b^-1 · a)^-1∈H，所以bRa。傳遞性：∀a,b,c∈G，若aRb和bRc，即b^-1 · a∈H，c^-1 · b∈H，H是群，則滿足封閉性，所以c^-1 · a = (c^-1 · b) · (b^-1 · a) ∈H,即aRc。

（2）再證明R(a) = aH，對∀x∈R(a)，有aRx，由對稱性知xRa，即a^-1x∈H，因此存在h∈H，使得a^-1x = h，即x=ah∈aH，得到R(a)⊆aH;反過來，假設x∈aH，則存在h∈H，使得x=ah，即a^-1x=h，所以xRa，得到aH⊆R(a);綜上的，R(a) = aH

定理：H是G的有限子群，∀a∈H，|aH| = |Ha| = |H|.

該定理說明同一子群的左陪集和右陪集的基數相等，且等於子群的基數

定理：所有左陪集的個數等於所有右陪集的個數

證：只需給出S_L和S_R之間的雙射即可。

該定理是指陪集本身的個數，上一個定理是指陪集中元素的個數，是不同的

 

定義：設H是群G的子群，H在G中所有左（右）陪集的個數稱為H在G中的指數，記作[G,H]

 

拉格朗日定理

Lagrange定理：設H設有限群G的子群，則|H|整除|G|，且|G| = |H| * [G:H]

推論一：有限群G的每個元素的階均能整除G的階

證：∀a∈G，(a)≤G，所以|(a)|整除|G|，即|a|整除|G|

推論二：質數階的群必為循環群

證：設G是p階群，其中p是質數，由(1)，∀a∈G，|a|整除p，若a≠e，則|a| ≠ 1，所以|a| = p，故G = (a).

 

正規子群與商群

正規子群：設H是G的子群，若∀a∈G,aH = Ha，則稱H是G的正規子群，或正則子群、不變子群，記作H◁G

在正規子群中左陪集和右陪集相等，因此統稱為陪集

例如：

• Abel群的子群都是正規子群
• 任意群都有兩個平凡正規子群，即{e}和它本身

定理：設H ≤ G,H◁G當且僅當∀a∈G，aHa^-1⊆H

該定理可用來判定是否為正規子群

定理：設H ≤ G,則G關於H的陪集關系R是G上的同余關系

證：前面已經證明過R是等價關系，下面證明R關於·滿足置換性質.

∀a,b,c,d∈G，若aRb,cRd，則aH = Hb,cH = Hd，所以(ac)H = a(cH) = a(Hd) = (aH)d = (Hb)d = H(bd).故(ac)R(bd)。

注：

• 群的任意子群的左（右）陪集關系不一定是群上的同余關系，但是正規子群的陪集關系一定是
• 正規子群可誘導出同余關系，反之，同余關系也可以誘導出正規子群

 

商群：設(H,·)是(G,·)的一個正規子群，定義G/H為{Ha |a∈G}，對任意的Ha,Hb∈G/H，定義G/H上的運算°為Ha ° Hb = Hab，(補充完整是(H·a) ° (H·b) = H·a·b)，則(G/H,°)構成一個群，稱為G關於H的商群

證：證明其是一個群，良性的、封閉性、結合性、有單位元、有逆元。略。

例如：

 

 

參考鏈接：中國大學mooc 劉鐸 離散數學