群 子群 陪集

一 群、子群、陪集

實數集R上定義兩種運算:

• \(+\): \(R\times R \rightarrow R\)（加法）
• \(*\): \(R\times R \rightarrow R\)（乘法）

滿足 \(R\) 在 \(+\) 運算下是 阿貝爾群 (交換群)，和 \(R - {0} = R^{*}\) 在 \(*\) 運算下也是 阿貝爾群。回顧一些阿貝爾群的定義。

定義2.1. 群 是具有二元運算 (\(\cdot\)) 的一個集合 \(G\)

\(\cdot\) : \(G\times G \rightarrow G\)，\(\forall a, b \in G\) 元素 \(a\cdot b \in G\)

該運算 \(\cdot\) 具有以下性質:

1. \(\cdot\) 是結合的
2. 有一個恆等元 \(e \in G\)
3. \(G\) 中的每個元素是可逆的。

更明確地說，這意味着 \(\forall a, b, c \in G\) 滿足下面性質：

• \(G1\): \(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\) (結合性)

• \(G2\): \(a \cdot e = e \cdot a = a\) (同一性，具有幺元)

• \(G3\): \(\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G\) 使得 \(a \times a^{-1} = a^{-1} \times a = e\) (存在逆元)

如果一個群滿足 \(\forall a, b \in G, a \cdot b = b \cdot a\) ，則該群是 阿貝爾群（交換群）

如果一個集合 \(M\) 定義了一個運算 \(\cdotp\) : \(M \times M \rightarrow M\) 但是這個運算只滿足性質 \(G1\) 也就是，該運算是 可結合 的，則 \(M\) 是定義在運算 (\(\cdotp\)) 上的 半群

如果半群 \(<M,\cdot>\) 存在 幺元，就稱為其為 獨異點。

例如，自然數集合 \(N={0,1,\cdots, n, \cdots}\) 在加法下是一個（可交換的）獨異點。但是，他不是一個群。

下面給出一些群的例子

例2.1

1. 自然數集合 \(Z = \{\cdots, -n, \cdots, -1, 0, 1 \cdots, n, \cdots\}\) 是一個定義在加法運算下的阿貝爾群，幺元(單位元素)為 \(0\)。但是 \(Z^{*} - Z - {0}\) 在乘法下不是一個群。

2. 有理數集合 \(Q\) （\(p,q \in Z \land q \ne 0, \frac{p}{q}\in Q\)）是一個定義在 加法（addition）下的阿貝爾群，幺元為0；集合 \(Q^{*} = Q-{0}\) 也是一個阿貝爾群，且是定義在 乘法 （multiplication）下，幺元為 \(1\)

3. 給定一個非空集合 \(S\) ；雙射 \(f:S \rightarrow S\) 的集合（也叫 \(S\) 的一個 排列），是一個定義在 函數組合（例如，\(f\) 和 \(G\) 的方法是組合 \(g \circ f\)）下的一個群，幺元為恆等函數 \(id_S\) 。只要 \(S\) 有兩個以上的元素這個群就不是 交換群。集合 \(S={1, \cdots, n}\) 的 排列 常記為 \(Sn\)，稱為 \(n\) 個元素上的對稱群

4. 對任意的正整數 \(p \in N\) ，定義在 \(Z\) 上一個關系，表示 \(m \equiv n \quad (mod \quad p)\) 如下所示

   \(m \equiv n \quad (mode \quad p)\) , 當且僅當(iff), \(\exists k \in Z\) 使得 \(m-n=kp\)

   可以很容易地檢查這是一個 等價 關系，而且，它在加法和乘法方面是兼容的。

   這意味着，如果 \(m_1 \equiv n_1 (mod p)\) 且 \(m_2 \equiv n_2 (mod p)\) ，則 \(m_1 + m_2 \equiv n_1+n_2 (mod p)\) 且 \(m_1m_2 \equiv n_1n_2 (mod p)\) 。

   因此，我們可以定義 等價類 集（\(mod p\)）的加法運算和乘法運算:

   \[[m] + [n] = [m + n] \]

   和

   \[[m] \cdot [n] = [mn] \]

   很容易地檢查 剩余類（\(mod p\)） 的加法是導致 \([0]\) 為零的阿貝爾群結構。該群表示為 \(\frac{Z}{pZ}\) 。

5. 具有實（或 復）系數 的 \(n \times n\) 可逆矩陣 集是 矩陣乘法 下的一個 群，其 幺元為單位矩陣\(E\)(\((I_n)\))。

   這個群稱為一般 線性群，通常用 \(GL(n,R)\) (或 \(GL(n,C)\))表示。

6. 具有實數（或復數）系數的 \(n \times n\) 可逆矩陣 \(A\) 的集合使得 \(det(A)=1\) 是 矩陣乘法 下的一個 群，幺元為單位矩陣。

   這個群稱為 特殊線性群，通常用 \(SL(n, R)\) (或 \(SL(n,C)\))表示。

7. 具有 實系數 的 \(n \times n\) 矩陣 \(Q\) 的集合，使得

   \[Q^{T}Q=I_n \]

   是在矩陣乘法下的一個群。幺元為單位矩陣；我們有 \(Q^{-1} = Q^{T}\)。

   這組叫做 正交群 ，通常用 \(O(n)\) 表示

8. 具有 實數系數 的 \(n \times n\) 可逆矩陣 \(Q\) 的集合，使得

   \[QQ^{T}=Q^{T}Q=I_n \land \quad det(Q) = 1 \]

   是在矩陣乘法下的一個群。幺元為單位矩陣；如(6)，我們有\(Q^{−1}=Q^{T}\)。

   這種群稱為 特殊正交群 或 旋轉群，通常用 \(SO(n)\) 表示。

當 \(n \ge 2\) 時，\((5)-(8)\) 中的群是 非阿貝爾群，除了 \(SO(2)\) 是阿貝爾群(但 \(O(2)\) 不是阿貝爾群)。

習慣上用 \(+\) 表示交換群 \(G\) 的運算，在這種情況下，元素 \(a \in G\) 的逆 \(a^{-1}\) 用 \(-a\) 表示。

群的 單位元素(幺元)是 唯一的。事實上，我們可以證明一個 更普遍 的事實:

命題2.1 : 如果一個二元運算 \(\cdotp : M \times M \rightarrow M\) 是結合的，如果 \(e^{'} \in M\) 是左單位元素（左幺元），\(e^{''} \in M\) 是右單位元素（右幺元），即

\[\forall a \in M, e^{'}\cdot a = a \]

和

\[\forall a \in M, a \cdot e^{''} = a \]

則 \(e^{'} = e^{''}\)

命題 2.2 暗示了一個 單類 的 單位元素是唯一的 ，由於每個 群都是一個單類 ，所以 群的單位元素是唯一的 。而且，群中的 每個元素都有唯一的逆。這是一個更普遍的事實的結果:

命題2.2: 在一個存在幺元 \(e\) 的獨異點 \(M\) 中，\(\exists a \in M\) 有 左逆元 \(a^{'}\in M\) 和 右逆元 \(a^{''} \in M\) ，這意味着

\[a^{'}\cdot a = e \qquad (G3l) \]

和

\[a \cdot a^{''} = e \qquad (G3r) \]

則 \(a^{'} = a^{''}\)。

定義2.2 : 如果一群 \(G\) 有 有限數目 的 \(n\) 個元素，我們說 \(G\) 是一個 \(n\) 階元素的群。如果 \(G\) 是無限的，我們說 \(G\) 有無限階。群的 階 通常用 \(|G|\) 表示(如果 \(G\) 是有限的)。

給定一個群 \(G\)，對任意的兩個子集 \(R,S \subseteq G\) ，設

\[RS=\{r\cdot s |r \in R,s\in S \} \]

特別的。\(\forall g \in G\), 如果 \(R={g}\) ，則

\[gS = \{g\cdot s | s \in S\} \]

同理，如果 \(S={g}\), 則

\[Rg= \{r\cdot g | r \in R\} \]

從現在開始，我們將去掉乘法號，將 \(g1·g2\) 寫成 \(g1g2\)

定義2.3 設 \(G\) 是一個群。對於任意的 \(g\in G\)，定義 \(L_g\), 對於所有\(a\in G\)，有 \(L_g(a) = ga\), 即是 \(g\) 的左平移。同理定義了 \(R_g\), 對於所有 \(a\in G\), 有 \(R_g(a) = ag\), 既是 \(g\) 的右平移

命題2.3 給定一個群 \(G\), 平移 \(L_g\) 和 \(R_g\) 都是雙射

定義2.4 給定一個群 \(G\)，\(G\) 的一個子集 \(H\)，當且僅當

• \((1)\) \(G\) 的幺元 \(e\) 也屬於 \(H\) （\(e \in H\)）
• \((2)\) \(\forall h_1,h_2 \in H\)，則 \(h_1h_2\in H\)
• \((3)\) \(\forall h \in H\), 則 \(h^{-1} \in H\)

則 \(H\) 是 \(G\) 的子群。

命題2.4 給定一個 群 \(G\) , \(H \subseteq G\)且 \(H \ne \Phi\)，使的 \(H\) 是 \(G\) 的 子群，當且僅當 \(\forall h_1, h_2 \in H\) 有 \(h_1h_2^{-1} \in H\)

---

如果群 \(G\) 是 有限 的，則可以使用以下准則

命題2.5 給定一個有限群 \(G\)，\(H \subseteq G\)，使得 \(H\) 是 \(G\) 的 子群，當且僅當

• \((1)\) \(e \in H\) (幺元在 \(H\) 中)
• \((2)\) \(H\) 在乘法下是 封閉 的

例子 2.2

1. \(\forall n \in Z\)，集合 $$nZ={nk|k\in Z}$$ 是 \(Z\) 的一個子群

2. 矩陣集合 $$GL^{+}(n, R) = {A\in GL(n,R) | det(A) \gt 0}$$ 是群 \(GL(n,R)\) 的一個子群。

3. 群 \(SL(n, R)\) 是 群 \(GL(n,R)\) 的子群

4. 群 \(O(n)\) 是 群 \(GL(n, R)\) 的子群

5. 群 \(SO(n)\) 是群 \(O(n)\) 的子群，也是 群 \(SL(n, R)\) 的子群

6. 不難看出，每個 \(2 \times 2\) 旋轉矩陣 \(R\in SO(2)\) 可以寫成 $$R=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, 0 \le \theta \le 2\pi .$$ 通過將矩陣 $$R=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$ 視為 矩陣 $$Q=\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 可以將 \(SO(2)\) 視為 \(SO(3)\) 的子群。

7. 形如 $$\begin{pmatrix} a & b \ 0 & c \end{pmatrix}, a, b, c \in R, a,c \ne 0$$ 矩陣集合是群 \(GL(2, R)\) 的子群。

8. 由四個矩陣 $$\begin{pmatrix} \pm 1 & 0 \ 0 & \pm 1 \end{pmatrix}$$ 組成的集合 \(V\) 是 群 \(GL(2, R)\) 的子群，稱為 稱為 克萊因四群

定義2.5 如果 \(H\) 是 群 \(G\) 的子群，且 \(\forall g \in G\)

\(G\) 中形如 \(gH\) 的集合稱為 集合 \(H\) 的 左陪集；

\(G\) 中形如 \(Hg\) 的集合 稱為 集合 \(H\) 的 右陪集。

在 \(H\) 左陪集（或右陪集）中 產生了一種等價關系 \(\sim\) 定義如下: $$\forall g_1,g_2 \in G, g_1 \sim g_2$$
當且僅當 $$g_1H = g_2H$$ (或者 \(g_1 \sim g_2\) 當且僅當 \(Hg_1 = Hg_2\)) 。顯然 \(\sim\) 是一個等價關系。

命題2.6 給定一個群 \(G\) 和 \(G\) 的任意子群 \(H\)，則有 $$g_1H = g_2H$$ 當且僅當 \(\forall g_1, g_2 \in G, g_2^{-1}g_1H = H\)

命題2.7 對於任意有限群 \(G\) 和 \(G\) 的任意子群 \(H\), \(H\) 的階 \(h\) (\(h= |H|\)) , \(G\) 的階 \(n\) (\(n=|G|\))，我們有 \(h|n\)。

定義2.6 給定有限群 \(G\) 和 \(G\) 的子群 \(H\)，如果 \(n=|G|\) 和 \(h=|H|\)，則 \(\frac{n}{h}\) 的比值表示為 \((G:H)\) ，稱為 \(H\) 在 \(G\) 中的指數。

指數 \((G:H)\) 是 \(G\) 中 \(H\) 的 左(和右)陪集的個數 命題2.7 可以表述為 $$|G|=(G:H)|H|$$

\(G\) 中 \(H\) 的 左集 (一般不是一個群)記作 \(G/H\)。\(G/H\) 的“點”是通過將一個陪集中的所有元素“坍縮”成一個元素而得到的。

例子 2.3

1. 取任意正整數，並考慮 \(Z\) 的子群 \(nZ\) (在加法下)。\(0\) 的陪集是集合 \(\{0\}\)，任意非零整數 \(m \in Z\) 的陪集是 $$m + nZ = {m+nk|k\in Z}。$$ 通過 \(m\) 除以 \(n\) 我們有 \(m=nq+r，0 \le r \le n-1 且 r唯一\) 。然后我們得到 \(r\) 是陪集 \(m+nZ\) 中最小的正元素。這意味着在 \(Z\) 的子群 \(nZ\) 的陪集和 模 \(n\) 的 余數 集 \(\{0, 1, \cdots , n-1\}\) 上存在一個 雙射 ，或與 \(Z/nZ\) 等價的雙射。

通過 \((g_1H)(g_2H) = (g_1g_2)H\) 來定義 左陪集（或 右陪集）上的 乘法 運算是很有誘惑力的。但是這個運算一般沒有很好的定義，除非子群 \(H\) 具有一個特殊的性質。上述 例子2.3 中的 \(1\) 是可以定義這樣的運算。

子群 \(H\) 允許在 左陪集 上定義乘法運算的性質是 群同態 核的典型性質

定義2.7 給定兩個群 \(G\) 和 \(G^{'}\) ，函數 \(\phi: G \rightarrow G^{'}\) 當且僅當 $$\phi(g_1g_2)=\phi(g_1)\phi(g_2), \forall g_1, g_2 \in G$$ 稱為 同態

考慮 \(g_1=g_2=e, g_1,g_2\in G\), 我們得到 $$\phi(e) = e^{'}$$ 考慮 \(g_1=g, g_2=g^{-1}\), 我們得到 \(\phi(g^{-1}) = (\phi(g))^{-1}\)。

定義2.8 如果 \(\phi: G \rightarrow G^{'}\) 是一個 群同態，如果 \(H\subseteq G\) 是 \(G\) 的一個子群，也是 \(G^{'}\) 的子群，稱 $$Im H = \phi(H) = {\phi(g)| g \in H}$$ 稱為 \(H\) 在 \(\phi\) 小的 像 （值域），以及 \(G\) 的子群， $$Ker \phi = {g \in G | \phi(g) = e^{'}}$$ 稱為 \(\phi\) 的 核

命題2.8 如果 \(\phi: G \rightarrow G^{'}\) 是 群同態，當且僅當 \(Ker \phi=\{e\}\) 時， \(\phi:G \rightarrow G^{'}\) 是 單射

定義2.9 如果有一個群同態 \(\psi: G^{'} \rightarrow G\) ，我們稱群同態 \(\phi:G \rightarrow G^{'}\) 時一個 同構。因此 $$\psi \circ \phi = id_G 和 \phi \circ \psi = id_{G^{'}}$$
如果 \(\phi\) 是 同構 的，則稱 \(G\) 和 \(G^{'}\) 是同構的。當 \(G^{'} = G\) 時，群同構 稱為 自同構。

如果一個 群同態 \(\phi:G \rightarrow G^{'}\) 是 同構，則 \(\psi:G^{'}\rightarrow G\) 滿足唯一的條件是 $$\psi \circ \phi = id_G 和 \phi \circ \psi = id_{G^{'}}。$$ 這樣的 同態 表示為 \(ϕ^{-1}\)

左平移 \(L_g\) 和右平移 \(R_g\) 是 \(G\) 的 自同構

假設 \(\phi: G\rightarrow G^{'}\) 時雙射同構，設 \(\phi^{-1}\) 是 \(\phi\) 的逆 (類似與反函數)。 \(\forall a, b\in G\) ，我們有 $$\phi(\phi^{-1}(a) \phi^{-1}(b)) = \phi(\phi^{{-1}(a))\phi(\phi}{-1}(b))$$ 因此， $$\phi^{{-1}(ab)=\phi}{-1}(a)\phi^{-1}(b)$$ 這樣就證明了 \(\phi^{-1}\) 是同態的。

命題2.9 雙射群同態 \(\phi:G \rightarrow G^{'}\) 是一個同構。遵守這樣的一個性質

\[gH=Hg, \forall g \in G \qquad \qquad \qquad(*) \]

等價於兩邊乘以 \(g^{-1}\) 得到

\[gHg^{-1} = H, \forall g \in G \]

上面的式子等價於

\[gHg^{-1} \subseteq H, \forall g\in G \qquad \qquad \qquad (**) \]

這是因為 \(gHg^{-1} \subseteq H\) 意味着 \(H \subseteq g^{-1}Hg, \forall g \in G\)

命題2.10 設 \(\phi: G \rightarrow G^{'}\) 是一個群同態，因為性質$ (*)$, 則 \(H = Ker \phi\) 滿足 性質 \((**)\)

定義2.10 設 群 \(G\) 的子群 \(H\) ，\(\forall a \in G, aH=Ha\) 則稱 \(H\) 是 \(G\) 的 正規子群

等價定義 對於任意群 \(G\) , \(G\) 的子群 \(N\) 是 \(G\) 的 正規子群，當且僅當 $$gNg^{-1}=N, \forall g \in G$$ 記為 \(N \triangleleft G\)

同態 \(\phi:G \rightarrow G^{'}\) 的核 \(Ker \phi\) 是 \(G\) 的一個正規子群

如果 \(G\) 是 交換群 (阿貝爾群)，那么 \(G\) 的每個子群都是 正規 的。

如果 \(N\) 是 \(G\) 的 正規子群，則由 左陪集 引出的 等價關系 \(\sim\) (見定義2.5)與由 右陪集 引出的 等價關系 相同 。而且，這個等價關系是 同余的。即 \(\forall g_1,g_2,g_1^{'}, g_2^{'} \in G\)

• \((1)\) 如果 \(g_1N=g_1^{'}N\) 和 \(g_2N=g_2^{'}N\) ， 則 \(g_1g_2N=g_1^{'}g_2^{'}N\)
• \((2)\) 如果 \(g_1N=g_2N\) ，則 \(g_1^{-1}N=g_2^{-1}N\)

因此，我們可以通過設 \((g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N\) 在模態的等價類的集合 \(G/\sim\) 上定義一個群結構。

定義2.11 設 \(G\) 是一個群， \(N\) 是 \(G\) 的正規子群。通過(左)陪集 乘法 $$(g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N, g_1, g_2 \in G$$ 得到的 群 記為 \(G/N\)，稱為 \(N\) 除 \(G\) 的商。 元素 \(g\in G\) 的等價類 \(gN\) 也表示為 \(\overline{g}\) 或 \([g]\) 。 通過 \(\pi(g) = \overline{g}=gN\) 給出的映射 \(\pi: G \rightarrow G/N\) 是一個群同態，稱為 正則投影

由於同態的核是正規子群。所以

命題2.11 給定 群同態 \(\phi : G\rightarrow G^{'}\) ，群 \(G/Ker \phi\) 和 \(Im \phi = \phi(G)\)是同構的 。（第一同構定理）

定義2.12 給定兩個群 \(G\) 和 \(H\) ，設 \(G \times H\) 是 \(G\) 和 \(H\) 的笛卡爾積，由乘法運算 (\(\cdotp\)) 通過 $$(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1g_2, h_1,h_2)$$

馬上就可以證明 \(G\times H\) 是一個群，稱為 \(G\) 和 \(H\) 的 直接乘積

類似地，給定任意 \(n\) 個群 \(G_1, \cdots, G_n\) ，我們可以用類似的方法定義直積 \(G_1\times \cdots \times G_n\) 。

如果 \(G\) 是一個 交換群，並且 \(H_1, \cdots, H_n\) 是 \(G\) 的子群，映射 $$a:H_1\times \cdots, \times H_n \rightarrow G$$ 可由 $$a(h_1,h_2,\cdots, h_n)=h_1+h_2+\cdots + h_n$$ 給出，使用 \(+\) 來表示群 \(G\) 上的運算。這很容易證明 \(a\) 是一個群同態，所以，它的像是群 \(G\) 的子群，表示為 \(\sum_{i=1}^{n}H_i\) 。

命題2.12 給定一個 交換群 \(G\) ，如果 \(H_1\) 和 \(H_2\) 是 \(G\) 的任意 子群，使 \(H_1 \bigcap H_2=\{0\}\)，則映射 $$a:H_1 \times H_2 \rightarrow H_1 + H_2$$ 是 同構的 。

在 命題2.12 的條件下，即 \(H_1 \bigcap H_2=\{0\}\) ，則 群 \(H_1 + H_2\) 稱為 \(H_1\) 與 \(H_2\) 的 直和; 表示為 \(H_1 \oplus H_2\) ，我們有一個同構 \(H_1 \times H_2 \cong H1 \oplus H2\)