拉格朗日反演

拉格朗日反演

設有兩個多項式\(F(x)\)和\(G(x)\)，兩個多項式都是常數項為\(0\)且\(1\)次項不為\(0\)，如果滿足\(G(F(x))=x\)，則稱\(F(x)\)和\(G(x)\)互為復合逆，有

\[[x^n]F(x)={1\over n}[x^{-1}]{1\over G^n(x)} \]

\[[x^n]H(F(x))={1\over n}[x^{-1}]H'(x){1\over G^n(x)} \]

其中\([x^n]F(x)\)表示多項式\(F(x)\)的\(n\)次項系數。把\(F\)和\(G\)交換位置也成立（大概……）

前置芝士

當我第一次看到這兩個式子的時候是懵逼的，一個好好多項式的哪來的\(x^{-1}\)？

然后看了看發現這好像是抽代里的芝士……我根本不會啊……

然后隨便看了看書……大概是這么定義的

環：設\(R\)是一個非空集合，如果\(R\)上定義了兩個代數運算（代數運算就代表有封閉性），一個是加法，一個是乘法，並且滿足一下三個條件

1.\(R\)對於加法成一個交換群（就是\(R\)對於加法成一個群，且這個加法滿足交換律）

2.乘法有結合律

3.乘法對加法有分配律，即\(a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca\)（左右都有分配律）

那么\(R\)就是一個環

然后域的定義就是：如果\(R\)的乘法有單位元，滿足交換律，並且每一個非\(0\)元都可逆，那么\(R\)就是一個域

我們平時做的只是在形式冪級數環上的東西，就是形如\(a_0+a_1x+a_2x^2+...\)，記為\(F[[x]]\)（\(F\)是一個域，\(OI\)里一般都是復數域或者模\(P\)意義下的域）

首先它並不是一個域，因為形如\(x\)這種沒有常數項的多項式是不可逆的

然后我們需要一個域，是一個叫做分式環的東西（雖然叫環但它是個域），為所有形如\(ab^{-1},a,b\in R,b\neq 0\)的元素組成（這里除法只是個形式，並不需要\(b\)真的可逆）。我們把\(F[[x]]\)的分式環記為\(F((x))\)

然后\(F((x))\)中的每個元素都能表示成\(...a_{-2}x^{-2}+a_{-1}x^{-1}+a_0+a_1x^1+a^2x^2+...\)的形式

為啥嘞？對於\(F((x))\)中的每一個元素\(A(x)/B(x)\)，我們把\(B(x)\)表示成\(x^dB'(x)\)的形式，其中\(B'(x)\)是一個常數項非\(0\)的多項式（不是導數），那么\(B'(x)\)就可逆，計算出\(A(x)/B'(x)\)之后，把每一項次數減去\(d\)就行了

那么在\(F((x))\)下我們就不用擔心\(B(x)\)不可逆之類的問題了

證明

所以你嘰里呱啦說了一大堆有什么用啊！

對於\(G(F(x))=x\)，我們可以寫成

\[\sum_{i=1}^\infty a_iF^i(x)=x \]

兩邊求導，得

\[\sum_{i=1}^\infty ia_iF^{i-1}(x)F'(x)=1 \]

這里的\(F'(x)\)就代表\(F(x)\)的導數了

我們兩邊同除以\(F^n(x)\)，同時取\(x^{-1}\)的系數

\[[x^{-1}]\sum_{i=1}^\infty ia_iF^{i-n-1}(x)F'(x)=[x^{-1}]{1\over F^n(x)} \]

對於左邊，我們發現當\(i\neq n\)的時候，\(F^{i-n-1}(x)F'(x)\)等價於\({1\over i-n}(F^{i-n})'(x)\)，由於任何一個多項式求導之后\(-1\)次項都為\(0\)所以這一部分都不用去考慮，只要管\(i=n\)的時候就行了

當\(i=n\)的時候，有

\[\begin{aligned} F^{-1}(x)F'(x) &={a_1+2a_2x+3a_3x^2+...\over a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...}\\ &=\frac{a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots}{a_1x}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{a_2}{a_1}x+\frac{a_3}{a_1}x^2+\cdots\right)}\\ \end{aligned} \]

對於后面分母中那個多項式來說，因為它的常數項不為\(0\)所以它可逆，且它的逆常數項必為\(1\)。而前面那個多項式只有第一項次數為\(-1\)，而且第一項的系數為\(1\)

於是我們發現\([x^{-1}]F^{-1}(x)F'(x)=1\)

代入原式中就有\(a_n=[x^{-1}]{1\over n}{1\over F^n(x)}\)

然后就證完了

等會兒，你給我這式子了，那我咋求\(x^{-1}\)？我的形式冪級數里可沒有\(-1\)次項啊？

因為\(F(x)\)常數項為\(0\)且\(1\)次項不為\(0\)，我們令\(F'(x)=F(x)/x\)，那么原式就能變成\(a_n=[x^{-1}]{1\over n}{x^n\over F'^n(x)}=[x^{n-1}]{1\over n}{1\over F'^n(x)}\)，這就完全轉化成形式冪級數的形式了，問題解決