拉格朗日反演

拉格朗日反演及擴展拉格朗日反演

如果有 \(F(G(x))=x\)，即 \(F,G\) 互為復合逆，同時一定有 \(G(F(x))=x\)，可以稱 \(G(x)=F^{-1}(x),F(x)=G^{-1}(x)\)。

在這種情況下，有這樣的式子：

拉格朗日反演

\[[x^n]F(x)=\frac{1}{n}[x^{-1}](\frac{1}{G(x)})^n=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{G(x)})^n \]

擴展拉格朗日反演

\[[x^n]H(F(x))=\frac{1}{n}[x^{-1}]H'(x)(\frac{1}{G(x)})^n=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x)(\frac{x}{G(x)})^n \]

 
 

大朋友和多叉樹

設 \(F(x)\) 為答案的普通生成函數，那么有

\[F(x)=x+\sum \limits_{i=0}^{\infty}[i \in D] F^i(x) \]

\[x=F(x)-\sum \limits_{i=0}^{\infty}[i \in D] F^i(x) \]

這樣的話就構造出了 \(G(x)=F^{-1}(x)=x-\sum \limits_{i=0}^{\infty}[i \in D]x^i\)。

對 \(G\) 進行拉格朗日反演即可求出 \(F\)。

注意要求的是 \((\frac{x}{G(x)})^n\)，然而 \(G(x)\) 常數項一定為 \(0\)。

解決方法很簡單，把式子化成 \((\cfrac{1}{\frac{G(x)}{x}})^n\) 即可。
 

邊雙圖計數

首先一般圖的指數生成函數為 \(H(x)=\sum \limits_{i=0}^\infty 2^{\binom{i}{2}}\frac{x^i}{i!}\)。

可以求出一般連通圖的指數生成函數 \(P(x)\)，\(e^{P(x)}=H(x),P(x)=\ln H(x)\)。

給 \(P(x)\) 的第 \(i\) 項系數乘上 \(i\)，即可得到有根一般連通圖的指數生成函數 \(D(x)\)。

設有根邊雙圖的生成函數為 \(B(x)\)，考慮枚舉一般圖中根所在的邊雙大小，接着把有根連通圖掛在邊雙上的點上，那么有：

\[D(x)=\sum \limits_{i=1}^\infty b_ie^{iD(x)}\frac{x^i}{i!} \]

\[D(x)=\sum \limits_{i=1}^\infty b_i\frac{(xe^{D(x)})^i}{i!}=B(xe^{D(x)}) \]

令 \(C(x)=xe^{D(x)}\)，可得 \(D(x)=B(C(x))\)。

對 \(C(x)\) 取復合逆，可得 \(B(x)=D(C^{-1}(x))\)。

然后直接擴展拉格朗日反演沖上去：

\[[x^n]B(x)=[x^n]D(C^{-1}(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)(\frac{x}{C(x)})^n=\frac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)e^{-nD(x)} \]

 

點雙圖計數

同上題可以求出 \(D(x)\)。

設無根點雙圖的生成函數為 \(B(x)\)，考慮一般圖中根所在若干個無關的點雙，可以直接 \(\exp\) 起來，所以只需要考慮每個點雙的生成函數。

對於每個點雙，只要枚舉大小然后在點雙的每個點上掛一個有根連通圖即可。

所以每個點雙大概是這樣的 \(\sum \limits_{i=1}^{\infty}b_{i+1}\frac{D^i(x)}{i!}\)。

可以給 \(B\) 左移一位，使書寫方便一些，有 \(D(x)=xe^{B(D(x))}\)。

這里用的點雙生成函數是無根的，大概是因為這樣就可以直接欽定編號最小的點是根節點，不去給根節點分配編號同時還保證用到的方案數是正確的。

對式子同取 \(\ln\)，可得 \(\ln \frac{D(x)}{x}=B(D(x))\)。

用 \(D^{-1}(x)\) 替換掉 \(x\)，可得 \(\ln \frac{x}{D^{-1}(x)}=B(x)\)。

構造 \(H(x)\) 為 \(\ln \frac{D(x)}{x}\) 即可發現要求的就是 \(B(x)=H(D^{-1}(x))\)。

仍然是套一個擴展拉格朗日反演即可解決。