拉格朗日插值法

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10063039.html

 

覺得把zwfymqz大佬的博客粘上來就差不多了

 

本博客比較淺顯，適合入門粗學，具體深入的話就看 attack 大佬的博客（就是上面的鏈接）吧

 

拉格朗日的公式

 

首先拉格朗日插值法的公式附上：

 

$$A(k)=\sum_{i=1}^{n} y_i \prod_{j=1}^{n} \dfrac{k-x_j}{x_i-x_j}$$

 

這個式子給出來肯定是先懵。沒關系，誰看到這玩意兒不會懵呢？

 

拉格朗日的作用

 

解釋一下，拉格朗日插值就是給你 n+1 個點，然后讓你構造出一個符合這堆點練成的光滑圖像的 n 次函數

 

說人話，就是給你 n+1 個點，讓你構造出一個 n 次函數，使得這個函數的圖像經過坐標軸上的 n+1 個點。

 

那么上面式子里面的 $x_i$ 以及 $y_i$ 就是一個點的坐標啦！

 

拉格朗日的分析

 

然后你自己驗證一下就可以發現： 將原來的點帶進去， A 函數輸出的結果是符合這 n 個點的位置的。

 

為什么？ 因為如果你帶的點是 i 的話，那么當 $\sum$ 做到第 i 次時，后面的 $\prod$ 算出來的是 1 ，$\sum$的其余項都是 0

 

於是原式成立了，我們也可以拿它來計算別的 k 的函數值了

 

 

拉格朗日題的套路

 

至於這玩意兒拿來出題，無非就是裸題：

 

　　給你 n 個點以及正整數 k ，讓你用 n 個點求一個函數圖像並將 k 帶入求值（當然不是真要你求出函數圖像，輸出答案就好了）

 

這種題目的做法要么就是暴力代入公式，$O(n^2)$ ，要么給你的 n 個點的橫坐標是連續的，你可以利用這個性質優化到 $O(n)$ ，至於怎么優化嘛，想想階乘之類的東西...（具體推導你可以考慮打開文頭的鏈接）

 

至於另一種題型就是讓你求 $\sum_{i=1}^{n}i^k$ 的值了，這個東西為什么能用拉格朗日？他和上面講的東西毫無關聯啊！（你問我我問誰...）總之記好這玩意兒可以表示成一個 k+1 次多項式，然后就用 n 的值拿進去代就好了

 

做法么，自然就是枚舉出前 k+2 個點，然后看看 n 是否大於 k+2，不大於的話直接出解了，大於的話就是用 k+2 個點跑拉格朗日，n 帶入就好了。 並且由於這 k+2 個點的橫坐標是連續的，你可以將計算優化到 $O(k)$

 

什么？為什么這 k 個點是連續的？ woc 這幾個點是你自己選出來的前 k+2 個點啊！

 

但最后還是決定解釋一下為什么 $A(n)=\sum_{i=1}^{n}i^k$ 這玩意兒可以表示成一個 k+1 次函數

 

怎么說，我們考慮將 $i^k$ 表示為 $n-(n-i)^k$ ，懂了吧，將 $n-i$ 看做常數（況且 $n-i$ 在這個表達式中本來就是連續的數）然后展開一下就是一個 k 次多項式啦！

 

恩？ k 次？ 不是 k+1 次么？ emmm 我們考慮一下這里 $n^k$  的項其實總共有 n 項，加起來可不就是 $n*n^k=n^{k+1}$ 么？ 至於剩下的項次也是可以以此類推的...

 

（有興趣的讀者可以算一下哦，畢竟博主沒有算過，算出來piapia 打臉的話還請讀者在評論區中指出，但就算剩下的項無法整合成高一階的項，這里多項式的最高次系數也已經是 k+1 ，滿足 k+1 次函數的定義了）

 

神奇的重心拉格朗日

 

然后是某種騷操作，我是搞不大懂，拉格朗日前面加了個重心，說是優化，然后又說每加一個點的復雜度是 $O (n)$ 的（那加 n 個點的復雜度不還是 $n^2$ ?），也不知道真的假的...貌似真的

 

具體到圖像上的實現的話有一個動圖可以說明（不知道放到cnblogs上能不能動起來）：

 

 

 

 

怎么說呢...就是慢慢找點唄...

 

然后就 完 了 _(:з」∠)_

 

慢着？板子都不放一個的？

 

$$O(n^2)$$

//by Judge
//by young Judge
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=2111;
const ll mod=998244353;
#ifndef Judge
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
} int n; ll k,K,ans,x[M],y[M];
inline void AMOD(ll& a,ll& b){ a+=b; if(a>=mod) a%=mod; }
inline ll quick_pow(ll x,ll p,ll ans=1){
    while(p){
        if(p&1) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod,p>>=1;
    } return ans;
}
int main(){
    n=read(),K=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) x[i]=read(),y[i]=read();
    for(int i=1,j;i<=n;++i){ k=1;
        for(j=1;j<=n;++j) if(i!=j)
            k=k*(x[i]+mod-x[j])%mod;
        k=quick_pow(k,mod-2);
        for(j=1;j<=n;++j) if(i!=j)
            k=k*(K+mod-x[j])%mod;
        k=k*y[i]%mod,AMOD(ans,k);
    } return printf("%lld\n",ans),0;
}

 

$$O(n)$$

//by Judge
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=2111;
const ll mod=998244353;
#ifndef Judge
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
} ll n,K,ans,x[M],y[M],s1[M],s2[M],ifac[M];
inline void ADD(ll& a,ll b){ a+=b; if(a>=mod) a%=mod; }
int main(){ n=read()-1,K=read(),s2[n+1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(int i=0;i<=n;++i) x[i]=read(),y[i]=read(); s1[0]=(K-x[i])%mod;
    for(int i=1;i<=n;++i) s1[i]=s1[i-1]*(K-x[i])%mod;
    for(int i=n;i>=1;--i) s2[i]=s2[i+1]*(K-x[i])%mod;
    for(int i=2;i<=n;++i) ifac[i]=(mod-mod/i)*ifac[mod%i]%mod;
    for(int i=2;i<=n;++i) ifac[i]=ifac[i]*ifac[i-1]%mod;
    for(int i=0;i<=n;++i)
        ADD(ans,1ll*y[i]*(i?s1[i-1]:1)%mod*s2[i+1]%mod*
            ifac[i]%mod*((n-i&1)?-1:1)*ifac[n-i]%mod);
    return !printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}

 

什么？要函數封裝的？

ll lagrange(ll n,ll *x,ll *y,ll xi){ ll ans=0;
    s1[0]=(xi-x[0])mod,s2[n+1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i) s1[i]=s1[i-1]*(xi-x[i])%mod;
    for(int i=n;i>=0;--i) s2[i]=s2[i+1]*(xi-x[i])%mod;
    for(int i=2;i<=n;++i) ifac[i]=(mod-mod/i)*ifac[mod%i]%mod;
    for(int i=2;i<=n;++i) ifac[i]=ifac[i]*ifac[i-1]%mod;
    for(int i=0;i<=n;++i)
        ADD(ans,1ll*y[i]*(i?s1[i-1]:1)%mod*s2[i+1]%mod*
            ifac[i]%mod*((n-i&1)?-1:1)*ifac[n-i]%mod);
    return (ans+mod)%mod;
}

 

 

 

數論的東西，不懂沒關系，看還是要看看的...