淺談算法——拉格朗日插值

拉格朗日插值法：是以法國十八世紀數學家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項式插值方法（摘自某度百科）

首先我們需要知道，拉格朗日插值法有何用？

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舉例子永遠是最好的方法

比如說，已知下面這幾個點，我想找到一根穿過它們的曲線：

\(k+1\)個點是肯定可以確定一個\(k\)次函數的，因為待定系數法啊，然后我們假設函數為\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2\)，然后我們就有

\[\begin{cases}y_1=a_0+a_1x_1+a_2x_1^2\nonumber\\y_2=a_0+a_1x_2+a_2x_2^2\nonumber\\y_3=a_0+a_1x_3+a_2x_3^2\nonumber\end{cases} \]

可是可以，但是擴展性不強……畢竟考場上沒有可以解多元一次方程的機子……手動推通解的話……呵呵

拉格朗日也是這樣想的，但是他覺得：我可以通過三根二次曲線相加得到這個函數，那么是怎樣的三根曲線嘞？

第一根曲線\(f_1(x)\)，滿足\(f_1(x_1)=1,f_1(x_2)=f_1(x_3)=0\)

然后第二、三根曲線類似

我們可以發現

• \(y_1f_1(x)\)可以保證，在\(x_1\)處，取值為\(y_1\)，其余兩點取值為0
• \(y_2f_2(x)\)可以保證，在\(x_2\)處，取值為\(y_2\)，其余兩點取值為0
• \(y_3f_3(x)\)可以保證，在\(x_3\)處，取值為\(y_3\)，其余兩點取值為0

那么

\[f(x)=y_1f_1(x)+y_2f_2(x)+y_3f_3(x) \]

可以一一穿過這三個點

當函數不是二次，而是多次的時候，這個方法同樣成立

於是前人根據這個方法，總結出了拉格朗日插值法的一般式，即

\[f(x)=\sum\limits_{i=0}^ky_i\prod\limits_{j\not =i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

(因為1～k+1寫起來很丑，所以這里寫的是0～k，本質相同)

我們可以發現，任意代入一個\(x_k\)，都必然有\(f(x_k)=y_k\)，過程留給讀者自己推導

這樣我們就可以在\(O(k^2)\)的時間內求出\(f(x)\)

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我們再來考慮一些特殊的情況，比如\(x_i\)連續的情況

我們先把式子抄一遍

\[f(x)=\sum\limits_{i=0}^ny_i\prod\limits_{j\not =i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

由於\(x_i\)連續，所以我們可以把分子用前后綴積來表示

\[P_i=\prod\limits_{j=0}^i(x-x_j),S_i=\prod\limits_{j=i}^n(x-x_j) \]

然后分母可以寫成階乘的形式，式子變成

\[f(x)=\sum\limits_{i=0}^ny_i\dfrac{P_{i-1}·S_{i+1}}{(-1)^{n-i}i!(n-i)!} \]

那么我們就可以在\(O(k)\)的時間內算出\(f(x)\)的值了

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至於一些應用，最常見的就是求\(\sum\limits_{i=1}^ni^k\)的值，也就是求冪和，根據這里的式子可以得到

\[S_k(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^k=\dfrac{(n+1)^{k+1}-\sum\limits_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}S_j(n)-1}{k+1} \]

容易發現其為\(k+1\)次多項式，於是我們可以使用拉格朗日插值法

其中\(i\in[0,k+1]\)的取值我們用線篩，對於每個素數我們暴力快速冪，這部分時間復雜度為\(O(\dfrac{k}{\ln k}·\log k)=O(k)\)

所以總時間復雜度為\(O(k)\)