擴展拉格朗日反演和圖計數

前幾天學習了一下擴展拉格朗日反演（因為模擬賽考了），推了一下點雙和邊雙圖的計數，記錄一下。

前置技能：無向連通圖計數

設有標號無向圖的 egf 為 \(F(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{f_ix^i}{i!}\)，容易知道 \(f_i=2^{n\choose 2}\)，則有標號連通無向圖的 egf 滿足 \(G=\ln F\)。

邊雙連通圖

首先設有根連通無向圖的指數生成函數是 \(D(x)\)，有根邊雙連通圖的指數生成函數是 \(B(x)\)。
用 \(B\) 來表示 \(D\)：假設根所在邊雙大小 \(n\)，其egf為 \(\frac{b_nx^n}{n!}\)，而對於其相鄰的邊，對於其中一條邊，它掛着一個連通無向圖，接在邊雙的任意一個點上，所以得到它的egf為 \(nD(x)\)；若干邊自由排列（這里也可以理解成集合的組合），故鄰邊的egf是 \(\exp(nD(x))\)。
枚舉大小求和得 $$D(x)=\sum_{n\ge 1} \frac{b_nx^n\exp(nD(x))}{n!}=B(x\exp(D(x)))$$
設 \(F(x)=x\exp(D(x))\) 則 \(D(x)=B(F(x))\)；
兩邊對 \(F(x)\) 作復合逆得 \(B(x)=D(F^{-1}(x))\)。
有擴展拉格朗日反演公式如下：

\[[x^n]A(B^{-1}(x))=\frac{1}{n} [x^{n-1}]A'(x)(\frac{x}{B(x)})^n \]

代入可得 \([x^n]B(x)=\frac{1}{n} [x^{n-1}]D'(x)(\frac{x}{F(x)})^n\)，繼續化簡可得

\[[x^n]B(x)=\frac{1}{n} [x^{n-1}]D'(x)\exp(-nD(x)) \]

我們可以在 \(O(n\log n)\) 的時間復雜度求得 \(B(x)\) 的一項系數，注意是有根邊雙的egf，最后要乘一個 \(n!\) 和除以一個 \(n\)。

點雙連通圖

依然設有根連通無向圖的指數生成函數是 \(D(x)\)。
點雙肯定從點考慮，分析一下一個連通圖點雙分解的形態，根節點被若干個點雙包含。
設 \(b_i\) 為 \(i\) 個點的點雙圖數目。
一個包含根的點雙，除了根另有 \(n\) 個點，這 \(n\) 個點都掛着有根連通無向圖，可得這一群點的 egf 為 \(\sum_{n\ge 1} b_{n+1} \frac{D(x)^n}{n!}\)。
將點雙自由排列（這里也可以理解成集合的組合），要選根再乘上一個 \(x\)，得到

\[D(x)=x\times \exp(\sum_{n\ge 1} b_{n+1} \frac{D^n(x)}{n!}) \]

設 \(B(x)=\sum_{i=1}^\infty b_{i+1}\frac{x^i}{i!}\)，化簡得到

\[D(x)=x\exp B(D(x)) \]

繼續變換得 \(x=\frac{D(x)}{\exp B(D(x))} \rightarrow D^{-1}(x)=\frac{x}{\exp B(x)}\)
因此，\(B(x)=\ln \frac{x}{D^{-1}(x)}\)，復合逆多項式是不能直接求出來的。
記輔助函數 \(G(x)=\ln \frac{D(x)}{x}\) 則 \(B(x)=G(D^{-1}(x))\)。

代入擴展拉格朗日反演：

\[[x^n]B(x)=\frac{1}{n} [x^{n-1}]G'(x) (\frac{x}{D(x)})^n \]

我們要求的即 \(b_n=[x^{n-1}]B(x)\) 可以單次 \(O(n\log n)\) 計算。
注意要特判掉 \(n=1\) 的情況。

筆者注（2020.3.20）
注意這里 \(b_n\) 不強調有根，仔細考慮后究其原因如下：
首先，有根意味着我們考慮當前這個根節點的標號，標號為 \(1\sim n\) 算作不同的。
在邊雙連通圖計數中，我們直接考慮了根所在的邊雙，給根節點安排一個標號是必要的。
在點雙連通圖計數中，我們考慮的是每個點雙除去根節點以外的標號順序，給根節點安排不同的標號顯然毫無意義。而我們最后乘上一個 \(x\)，根據 egf 的定義，相當於解決了給根節點安排了序號的問題。