拉格朗日反演 (Lagrange Inversion)

復合逆

對於\(F(G(x))=x (\Leftrightarrow G(F(x))=x)\)，則稱\(F(x)\)與\(G(x)\)互為復合逆，下文中記為\(\hat F(x)\)

存在復合逆的條件為\([x^0]F(x)=0,[x^1]F(x)\ne 0\)

\[\ \]

拉格朗日反演

對於\(G(x)=\hat F(x)\)得到關於\(F(x)\)的拉格朗日反演表達式

\(\displaystyle [x^n]G(x)=\frac{1}{n}[x^{-1}](\frac{1}{F(x)})^n\)

由於\([x^0]F(x)=0\)無法求逆，所以上式更通用的形式是

\(\displaystyle [x^n]G(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{F(x)})^n\)

\[\ \]

求解復合逆

對於給定的\(F(x)\)，求其復合逆\(G(x)=\hat F(x)\)

帶入拉格朗日反演的式子

\(\displaystyle G(x)=\sum \frac{1}{i}[x^{i-1}](\frac{x}{F(x)})^i x^i\)

求這個式子的核心是 分塊+暴力

\(i=a\cdot S+b,S=\sqrt n\)，對於每個\(a,b\)卷積求出\(\displaystyle (\frac{x}{F(x)})^{Sa},(\frac{x}{F(x)})^b\)

然后直接對於每個位置把兩個式子暴力\(O(n)\)合並即可

兩部分復雜度總和為\(O(n\sqrt n\log n+n^2)\)

\[\ \]

擴展拉格朗日反演

對於\(G(x)=\hat F(x)\)，有\(\displaystyle [x^n]H(G(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x) (\frac{x}{F(x)})^n\)

特殊情況例如

\(\displaystyle [x^n]G^k(x)=\frac{k}{n}[u^{n-k}](\frac{u}{F(u)})^n=\frac{k}{n}[u^{-k}]F(u)^{-n}\)

也就是\(\displaystyle n[x^n]G^k(x)=k[x^{-k}]F(x)^{-n}\)

\[\ \]

\[\ \]

該式子也可以用於處理\(F(G(x))=H(x)\)的情況

此時，有\(\hat H(F(G(x)))=x\)

\(G(x)=\widehat {\hat G(F(x))}=H(\hat F(x))\)

帶入得到\(\displaystyle [x^n]G(x)=[x^n]H(\hat F(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x)(\frac{x}{F(x)})^n\)

即\(\displaystyle [x^n]G(x)=\frac{1}{n}[u^{n-1}]H'(u)(\frac{u}{F(u)})^n\)

\[\ \]

另類拉格朗日反演

依然設\(G(x)=\hat F(x)\)，則

\(\displaystyle [x^n]G^k(x)=[x^{-k-1}]\frac{F'(x)}{F^{n+1}(x)}\)

改一下是

\(\displaystyle [x^n]G^k(x)=[x^{n-k}] F'(x)(\frac{x}{F(x)})^{n+1}\)

更一般的

\(\displaystyle [x^n]H(G(x))=[x^n]H(x)F'(x)(\frac{x}{F(x)})^{n+1}\)

用途：

你會發現對於不同的\(k\)，\([x^n]G^k(x)\)對應的系數居然來自同一個函數\(\displaystyle \frac{F'(x)}{F^{n+1}(x)}\)

因此用於處理求多個\(k\)的問題

---

\[\ \]

\[\ \]

后記：

明明自己什么都不會還要寫博客。。。