先從最簡單的一次插值(n = 1) 開始, 求作一次式 \(L_{1}(x)\), 使之滿足條件
\[L_{1}(x_{0}) = y_0, \quad L_1(x_1) = y_1. \]
從幾何上看, \(y = L_1(x)\) 即是過點 \((x_0, y_0)\) 和 \((x_1, y_1)\) 的直線, 由解析幾何知道, 這條直線可用點斜式表示為
\[L_1(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0). \tag{1} \]
線性插值公式 \((1)\) 亦可表為下列兩點式
\[L_1(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}y_1. \tag{2} \]
若記
\[l_0(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}, \quad l_1(x) = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}, \]
則式 \((2)\) 還可寫為
\[L_1(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x) = \sum_{i = 0}^{1}y_il_i(x), \]
其中, \(l_i(x)\) 稱為插值基函數, 它們的圖形見下圖,
且有如下特點:
\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} & l_0(x) + l_1(x) = 1, \\ & l_0(x_0) = 1, \: l_0(x_1) = 0, \\ & l_1(x_0) = 0, \: l_1(x_1) = 1, \\ \end{align} \end{matrix} \right. \tag{3} \]
即
\[l_i(x_j) = \delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1, \quad i = j, \\ 0, \quad i \neq j, \\ \end{matrix}\right. \quad i, j = 0, 1. \]
由上可見, \(\displaystyle l_0(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}\) 與 \(\displaystyle l_1(x) = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\) 滿足條件 \((3)\) 且都是線性函數,反過來,如果一次函數 \(l_0(x)\) 與 \(l_1(x)\) 滿足條件 \((3)\), 那么可以證明, 它們只能是 \(\displaystyle \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}\) 與 \(\displaystyle \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}\).
事實上, 由代數多項式的性質值, 如果 \(x_0\) 是一個 \(n\) 次多項式 \(L_n(x)\) 的零點, 則多項式 \(L_n{x}\) 就一定含有一因子 \((x - x_0)\), 這時
\[L_n(x) = (x - x_0) L_{n - 1}(x), \]
其中, \(L_{n - 1}(x)\) 為 \(n - 1\) 次多項式.
因此, 對於一次函數 \(l_0(x)\), 性質 \(l_1(x_1) = 0\) 說明 \(x_1\) 是 \(l_0(x)\) 的零點, 這時 \(l_0(x)\) 含有因子 \((x - x_1)\); 由於 \(l_0(x)\) 是一次多項式, 所以
\[l_0(x)= c(x - x_1), \tag{4} \]
其中, c 是常數. 又由 \(l_0(x_0) = 1\), 將其代入式 \((4)\), 得 \(\displaystyle \frac{1}{x_0 - x_1}\), 於是得
\[l_0(x)= \frac{x - x_0}{x_0 - x_1}. \]
同理可得
\[l_1(x) = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}. \]
函數 \(l_0(x), l_1(x)\) 也常稱一次 \(Lagrange\) 基函數.
一般情形:
求作 \(n\) 次式 \(L_n(x)\), 使之滿足
\[L_n(x_i) = y_i = f(x_i), \quad i = 0, 1, ..., n. \tag{5} \]
從幾何上看, 就是求作 \(n\) 次曲線 \(y = L_n(x)\), 使之通過 \((n + 1)\) 個點 \((x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)\). 設
\[L_n(x) = \sum_{i = 0}^{n} y_i l_i(x), \]
也就是仍從構造所謂插值基函數 \(l_i(x)\) 入手, 由插值條件 \((5)\) 知 \(l_i(x)\) 應滿足條件 \(l_i(x) = \delta_{ij}, \: i, j = 0, 1, ..., n\), 即 \(n\) 次多項式 \(l_i(x), \: i = 0, 1, ..., n\) 滿足條件
\[\left\{ \begin{matrix} \begin{align} & l_0(x_0) = 1, l_0(x_1) = 0, ..., l_0(x_n) = 0, \\ & l_1(x_0) = 0, l_1(x_1) = 1, ..., l_1(x_n) = 0, \\ & \cdots \cdots \\ & l_n(x_0) = 0, l_n(x_1) = 0, ..., l_n(x_n) = 1. \\ \end{align} \end{matrix} \right. \tag{6} \]
由條件 \((6)\) 知, \(n\) 次多項式 \(l_0(x)\) 有 \(n\) 個零點, 它們為 \(x_1, x_2, ..., x_n\), 所以
\[l_0(x)= c_0(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n), \tag{7} \]
其中, \(c_0\) 為待定常數; 把 \(x = x_0\) 代入式 \((7)\), 並注意到 \(l_0(x_0) = 1\), 可推得
\[l_i(x) = \frac{(x - x_0) \cdots (x - x_{i - 1}) (x - x_{i + 1}) \cdots (x - x_n)}{(x_i - x_0) \cdots (x_i - x_{i - 1})(x_i - x_{i + 1}) \cdots (x_i - x_n)} = \prod_{j = 0 \\ i \neq j}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}. \tag{8} \]
於是 \(y = f(x)\) 的 \(n\) 次插值多項式可寫為
\[L_n(x) = \sum_{i = 0}^{n} y_il_i(x) = \sum_{i = 0}^{n} (\prod_{j = 0 \\ j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j})y_i. \tag{9} \]
易驗證有 \(\displaystyle L_n(x_i) = \sum\limits_{i = 0}^{n} y_i l_i(x_i) = y_i\), 即 \(L_n(x)\) 滿足插值條件 \((5)\). 形如式 \((9)\) 的插值多項式稱為 \(Lagrange\) 插值多項式, 由式 \((8)\) 所表示的 \(n\) 次代數多項式 \(l_i(x)(i = 0, 1, ..., n)\) 稱為以 \(x_i(i = 0, 1, ..., n)\) 為節點的 \(Lagrange\) 插值基函數. 上述構造插值多項式的方法叫做基函數法.
特別地, 一點零次插值多項式為
\[L_0(x) = y_0, \]
兩點一次插值(線性插值)多項式為
\[L_1(x) = \frac{x - x_1}{x_0 - x_1}y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}y_1, \]
三點二次插值(拋物插值)多項式為
\[L_2(x) = \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} y_0 + \frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} y_1 + \frac{(x - x_0)(x - _1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} y_2. \tag{10} \]
按: 本博客內容摘自《數值分析》(李紅).
