插值，不論在數學中的數值分析中，還是在我們實際生產生活中，都不難發現它的身影，比如造船業和飛機制造業中的三次樣條曲線。那么，什么是插值呢？我們可以先看一下插值的定義，如下：
（定義）如果對於每個\(1 \leq i \leq n,P(x_{i})=y_{i}\),則稱函數\(y=P(x)\)插值數據點\((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\).
插值的定義無疑是清楚明了的，而在眾多的數學函數中，多項式無疑是最簡單，最常見的函數，關於它的理論研究也最為透徹。因此，我們可以不妨先考慮利用多項式來進行插值。那么，這樣的多項式是否總是存在呢？答案是肯定的，因為我們有如下定理：
（多項式插值定理）令\((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\)是平面中的\(n\)個點，各\(x_{i}\)互不相同。則有且僅有一個\(n-1\)次或者更低的多項式\(P\)滿足\(P(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.\)
證明:先用歸納法證明存在性，再證明唯一性。
當\(n=1\)時，常函數(0次)\(P_{1}(x)=y_{1}\)即符合要求。假設當\(n-1\)時存在一個次數\(\leq n-2\)的多項式\(P_{n-1}\),使得\(P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n-1.\)則令\(P_{n}(x)=P_{n-1}(x)+c(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n-1})(x-x_{n})\)，其中\(c\)為待定系數，利用\(P_{n}(x_{n})=y_{n}\)即可求出待定系數\(c\).此時，\(P_{n}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n,\)且\(P_{n}(x)\)的次數\(\leq n-1\).這樣就證明了存在性。
其次證明唯一性。假設存在兩個這樣的多項式，設為\(P(x)\)和\(Q(x)\)，它們次數\(\leq n-1\)且都插值經過\(n\)個點，即\(P(x_{i})=Q(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.\)令\(H(x)=P(x)-Q(x)\),\(H\)的次數也\(\leq n-1\)，且有\(n\)個不同的根\(x_{1},x_{2},...,x_{n}\).因此，由多項式基本定理可知，\(H(x)\)為0多項式，即恆等於0，故有\(P(x)=Q(x)\).這樣就證明了存在性。
證畢。
有了以上定理，我們可以放心地使用多項式進行插值，同時，通過上述定理，我們可以用歸納法來構造此多項式，但是，這樣的方法難免復雜麻煩。於是，天才的法國數學家拉格朗日（Lagrange）創造性地發明了一種實用的插值多項式方法來解決這個問題，那么，他的方法是怎么樣的？
一般來說，如果我們有\(n\)個點\((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\)，各\(x_{i}\)互不相同。對於1到n之間的每個\(k\)，定義\(n-1\)次多項式
\(L_{k}(x)\)具有有趣的性質：\(L_{k}(x_{k})=1,L_{k}(x_{j})=0,j\neq k.\)然后定義一個\(n-1\)次多項式
這樣的多項式\(P_{n-1}(x)\)滿足\(P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.\)這就是著名的拉格朗日插值多項式！
以上就是拉格朗日插值多項式的理論介紹部分，接下來我們就要用Python中的Sympy模塊來實現拉格朗日插值多項式啦~~
實現拉格朗日插值多項式的Python代碼如下：
from sympy import *
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols('x')
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
item = '*'.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
ploy = '+'.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def main():
#example 1, interpolate a line
x_1 = [1,2]
y_1 = [3,5]
if len(x_1) != len(y_1):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))
#example 2, interpolate a parabola
x_2 = [0,2,3]
y_2 = [1,2,4]
if len(x_2) != len(y_2):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))
#example 3
x_3 = [0,1,2,3]
y_3 = [2,1,0,-1]
if len(x_3) != len(y_3):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_3,y_3))
main()
函數Lagrange_interpolation()具體實現了拉格朗日插值多項式，參數(keys, values)為list形式的點對，在main()函數中舉了三個Lagrange_interpolation()函數的應用實例，一個是插值兩個點，即直線，一個是插值三個點，即拋物線，一個是插值四個點，但結果卻是一次多項式。該程序的運行結果如下：
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols('x')
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = ['((x-'+str()+')/('+str(keys[i])+'-'+str()+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
item = ''.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+''+item)
ploy = '+'.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def degree_of_sum(k):
x_list, y_list = [], []
degree = k # degree=k in expression of 1^k+2^k+...+x^{k}
cul_sum = 0
for i in range(1,degree+3):
x_list.append(i)
cul_sum += i**degree
y_list.append(cul_sum)
return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)
def main():
r = redis.Redis(host='localhost', port=6379,db=0)
for k in range(1,51):
expression = str(degree_of_sum(k))
r.hset('sum_%s'%k,'degree',str(k))
r.hset('sum_%s'%k,'expression',expression)
print('Degree of %d inserted!'%k)
main()
運行以上程序，結果如下：
<center>
</center>
在Redis中的儲存結果如下：
<center>
</center>
我們可以具體查看當$k=2$時的求和公式，如下：
<center>
</center>
  這樣我們就介紹完了一個拉格朗日插值多項式的應用了。看了上面的介紹，聰明又機智的你是否能想到更多拉格朗日插值多項式的應用呢？歡迎大家交流哦~~
  新的一年，新的氣象，就從這一篇開始~~