設$H<G$,全體左陪集構成的集合$\overline{G}=\{gH:g\in G\}$,我們希望賦予$\overline{G}$群的結構,很自然的定義乘法為$$aH\cdot bH=abH$$容易驗證此運算下有幺元$H$,以及任意的$aH\in\overline{G}$有逆元$a^{-1}H$.但是最主要的問題是:左陪集的代表元選取並不唯一,那么次乘法的定義是否是無矛盾的?換言之,若$aH=a'H,bH=b'H$,是否有$abH=a'b'H$?這要求$a'^{-1}abH=b'H=bH$,此即$HbH=bH\Leftrightarrow b^{-1}HbH=H$,因此$b^{-1}Hb\subset H$,注意到對稱性,自然還有$bHb^{-1}\subset H\Rightarrow H\subset b^{-1}Hb$,因此$$b^{-1}Hb=H$$也就是說$H$的共軛子群仍是自己.由此我們引出正規子群的概念:
定義 群$G$的子群$N$稱為$G$的正規子群,如果$\forall g\in G$有$g^{-1}Ng=N$,記作$N \triangleleft G$.
如果$N\leq G$,不難看出下列條件是等價的：
1.$N\triangleleft G$;
2.對任意的$g\in G$,$gN=Ng$;
3.$N_G(N)=G$;
4.$G$對於$N$的每個左陪集均是右陪集.
定理得證明是顯然的.由前面的分析可知如果$N$是$G$的正規子群,那么陪集集合$\overline{G}$在上述陪集乘法定義下構成一個群,稱為群$G$模$N$的商群,也記作$G/N:=\overline{G}$,根據Lagrange定理可得商群的階數$$|G/N|=[G:N]=\frac{|G|}{|N|}$$
需要注意的是,我們在高等代數中知道：線性空間$V$可以對其任意子空間$M$作商空間$V/M$.但是群只能對正規子群作商群!
可以看出群$G$一定有兩個正規子群$\{1\},G$,稱為平凡正規子群,我們把那些只有平凡正規子群的群稱作單群!