群，群直積，商群
群(Groups)
如果獨異點(G, *)中的每個元素均存在逆元(必定是唯一的)，那么它便升級為群
集合S + 二元運算(自帶封閉性) -> \((G, *)\)，如果\((G, *)\)滿足結合律，那么\((G, *)\)升級為半群 -> \((G, *)\)存在單位元e(必定是唯一的)，那么\((G, *)\)升級為獨異點 -> \((G, *)\)中每個元素存在逆元(必定是唯一的)，那么\((G, *)\)升級為群
阿貝爾群(Abelian)
群G中任意兩個元素a，b∈G，均滿足阿貝爾律(交換律):ab = ba，那么群G升級為阿貝爾群
如:證明(G, *)是阿貝爾群
- 證明*對於G是一個二元運算(證明封閉性)
- 證明結合律
- 找出單位元
- 找出逆元
- 證明交換律
定理1:
逆元存在必唯一(顯然)
定理2:
群G具有消去律(Witt律)，包括左消去律和右消去律
定理3:
群G中滿足:
- \((a^{-1})^{-1} = a.\)
- \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\)
定理4:
如果G是群，a，b是群G中的元素，那么:
方程\(ax = b\)只有G中的唯一解
方程\(ya = b\)只有G中的唯一解
有限群(Finte Group)
群G中元素如果是有限的，則稱為有限群，其中G的元素稱為G的階(order)，記為|G|
顯然，有限群能通過乘法表表示，或者說能用乘法表表示的群都是有限群
一個重要的群--n次對稱群
置換:
通過輪換概念，我們可以知道置換也是群(但沒必要)
對稱群(symmetric group on n letters)
對稱群是指含置換群為子類的一類具體的有限群
對於集合X上的雙射: f: X -> X(也就是置換)
當X為有限集合時，置換的復合運算和(二元運算)部分置換操作(元素)構成了對稱群，如:
下給出\(S_3\):
Note:n次對稱群的階為n!
子群(Subgroup)
令H是群G的一個子集，如果H滿足群定義，那么H就是G的子群
\(H_1 = \{e\}, H_2 = G\)顯然也是群，我們稱這兩個群為G的平凡子群(trivial subgroup)
G的生成群是除平凡子群外最簡單的生成群(顯然)
定理5:
設有群\((G, *)\)和群\((G', *')\),並且有同態映射f:G -> G'，那么:
(a). 如果e是G的幺元，e'是G'的幺元，那么f(e) = e'
(b). 如果a∈G,那么\(f(a^{-1}) = (f(a))^{-1}\)
(c). 如果H是G的子群，那么f(H) = {f(h)|h∈H}也是G'的子群
Note:同構映射(isomorphism)會保持根據二元運算定義的所有性質(可以運用此性質來反證兩個群不是同構)
如群\(S_3\)和\(Z_6\)都是階為6的群，但前者不是Abelian，而后者是，故二者不同構
克萊因四元群(Klein 4 group)
表示:Klein = {e, a, b, ab};
克萊因群的所有元素都2階的，克萊因四元群是最小的非循環群。然而，它又是一個阿貝爾群
循環群(cyclic group)
定義:循環群。由一個元素反復運算生成的群\(G = \{a^n | n ∈ Z \}\)稱為循環群，簡記為\(<a>\)，a稱為這個循環群的生成元。
Note:
- 循環群都是阿貝爾群,並且循環群的任意子群也是阿貝爾群
- 循環群G中的任意元素都是G或G的子群A的生成元。
- 群G的元素a的階，是指由元素a生成的G的生成子群的階，有:若群G中每一個非幺元素的階均為2，則G是Abel群
- Lagrange定理:設G為有限群，則G中每個元素g的階均是|G|的因子;若G有子群，則任意子群A的階都是|G|的因子。
- p(素數)階群G均是Abel群，並且同構於\(Z_p\)。
- 可見，4階群都是Abel群
群直積和商群(Products and Quotients of Groups)
定理1:群直積
由群\(G_1和群G_2\)的乘積得到的群是群直積，且定義為:
\((a_1, b_1)(a_2, b_2) = (a_1a_2, b_1b_2)\)
證明和半群直積證明類似
設群\(G_1和群G_2\)都是mod2加法群\(Z_2\)(假設我們令0和1來表示等價類[0]和[1])，那么其乘積群G的乘法表如下:
如果我們通過如下定義函數，可以得到乘積群G和V/\(Z_4\)(唯二階為4的群)同構:
NOTE
更一般的，我們可以得到如下:
定理2:商群
和商半群類似，通過定義在群G上的同余關系R和二元運算 口，我們能得到商半群(G/R, 口)， 其中二元運算 口 被定義為:
- [a] 口 [b] = [a*b]
只需證明其有逆元即可
推論1:
顯然函數\(f_R(a) = [a]:G -> G/R\)是一個群同態
推論2:
同態基本定理對群是同樣適用的
陪集(coset)
定義:設H是群G的一個子集，a∈G，則集合aH(Ha)稱為由a所確定的H在G中的左配集(右陪集)，簡稱為H關於a的左陪集(右陪集)，元素a稱為陪集aH（Ha）的代表元素。
如果對於任何a∈G，均有aH = Ha，那么子群H稱為G的正規子群
Waring:Ha = aH並不代表對於所有的h∈H，ha=ah均成立
意思是存在h，h'∈H,使得ha = ah'
如果H是G的子群，那么如果元素a∈H，就有:aH = H
證明:
EXP(求全部元素關於子群H的左陪集):
Note:1.由這個例子，我們可以清晰的看到:對於任意a，b∈G,要么aH = bH，要么aH ∩ bH = ∅ (右陪集同理) ==》 通過子群H，我們就像同余關系一樣對G中的元素進行了划分，那么我們可以以此為基礎來構造商集
2.觀察例子，我們能發現:任意元素x∈G,x一定∈xH,其實這是一個普適規律(可以拿來快速求陪集？)
定理3:
設R是群G上的同余關系，H = [e]顯然是群G的一個子群，那么:
對於任意a∈G，均有:[a] = aH = Ha,即H是G的正規子群
通過定理3和推論1，我們可以通過正規子群N = [e]的所有陪集來進行構建商集，其中，二元運算定義為:
(aN)(bN) = [a] 口 [b] = [ab] = abN
同時有函數\(f_R: G -> G/R\)，定義為:
\(f_R(a) = aN\)
顯然，\(f_R\)是從G到G/R的同態，我們也經常寫成G/N
定理4:
設G的正規子群N，設定義在G上的關系R:
- a R b 當且僅當 \(a^{-1}b\)∈ N
那么有:
(a). R是G上的同余關系
(b). N是在R關系中的等價類[e]
可見，群G上的同余關系，正規子群H和G -> G/R(或G')的同態映射是等價的
推論2:
設同態映射f:G -> G'，那么f的核(kernel)，記為ker(f)，定義為:ker(f) = {a ∈ G|f(a) = e'}，那么:
- ker(f)是G的正規子群
- 商群G/ker(f)和G'同構
EXP:
\(f: Z -> Z_n\)定義為:f(m) = [r], 其中r = m%n, 那么ker(f) = nZ