Ker f 是 G 的正規子群的完整證明

已知 f: G → G' 是一個同態映射，e' 是 G' 的單位元，Ker f = {a ∈ G | f(a) = e'}. 則 Ker f 是 G 的正規子群.

證明：由同態映射定義知 

f(a) = f(e·a) = f(e)·f(a)，f(a) = f(a·e) = f(a)·f(e)

即有

f(a) = f(e)·f(a) = f(a)·f(e)，即 f(e) = e'，e ∈ Ker f

對任意的 h₁ ∈ Ker f，h₂ ∈ Ker f，f(h₁·h₂) = f(h₁)·f(h₂) = e'·e' = e'，於是 h₁·h₂ ∈ Ker f

對任意的 a ∈ G，有

e' = f(e) = f(a·a^-1) = f(a)·f(a^-1)

e' = f(e) = f(a^-1·a) = f(a^-1)·f(a)

即有 f(a^-1) = (f(a))^-1 

對任意的 h ∈ Ker f，則有 f(h^-1) = (f(h))^-1 = (e')^-1 = e'，於是 h^-1 ∈ Ker f

綜上，Ker f 是 G 的子群.

以下進一步證明 Ker f 是 G 的正規子群. 記 Ker f = H.

考慮任意的 a ∈ G，h ∈ H，a·h ∈ aH，h·a ∈ Ha

由 f(a^-1·h·a) = f(a^-1·h)·f(a) = f(a^-1)·f(h)·f(a) = (f(a))^-1·e'·f(a) = e'，有

a^-1·h·a ∈ H

於是 a·(a^-1·h·a) ∈ aH，即 a·(a^-1·h·a) = a·(a^-1·(h·a)) = a·a^-1·(h·a) = h·a ∈ aH

同樣，由 f(a·h·a^-1) = f(a·h)·f(a^-1) = f(a)·f(h)·f(a^-1) = f(a)·e'·(f(a))^-1 = e'，有

a·h·a^-1 ∈ H

於是 (a·h·a^-1)·a ∈ Ha，即 (a·h·a^-1)·a = (a·h)·(a^-1·a) = a·h ∈ Ha

綜上即有 aH = Ha，所以 H = Ker f 是 G 的正規子群.