歡迎指出其中的錯誤和交流。
關於堆排序的具體介紹和C代碼實現見該鏈接。
算導關於堆排序的練習主要是一些證明，可以幫助理解堆的特征。部分練習是圖示過程，這些練習認真用筆過一次會很有收獲。
1.在高度為h的堆中，最多和最少的元素個數是多少？
最多：底層全滿；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^h，等比數列求和得2^(h+1) - 1
最少：底層只有一個節點；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^(h-1) + 1，等比數列求和得2^h - 1 + 1 = 2^h
2.證明：含n個元素的堆的高度為floor(lgn)
假設n個元素的堆的高度為h。由上題得2^h <= n <= 2^(h+1) - 1，因此h <= lgn < h+1。
根據floor 和 ceiling 函數的性質
見維基
得h = floor(lgn)
3.證明：在一個最大堆的某棵子樹中，最大元素在該子樹的根上。（看了答案才知道用反證法，居然想不到反證法，離散數學白看了。。。。。）
假設這個命題為錯誤的，存在一棵子樹的最大元素不在該子樹的根，最大元素的下標為m。
則下標為m的節點的值比其父節點的值大，但是最大堆的特性為某個節點的值最多和其父節點的值一樣大，矛盾，因此假設為錯誤，命題正確。
4.證明：當用數組表示存儲了m個元素的堆時，葉節點的下標是floor(n/2)+1, floor(n/2)+2,...n
剛開始打算通過公式證明最有一個葉節點的父節點為floor(n/2)，最后沒能成功（數學太渣）。。。
根據二叉堆的性質：某節點下標為i（非根節點），其父節點的下標為floor(i/2)，因此最后一個葉節點的父節點的下標為floor(n/2)，所以從下標floor(n/2)+1開始到n都是葉節點。
5.寫出最小堆中維持最小堆性質的操作（本來要求寫偽代碼）
1 void min_heapify(int A[], int length, int i){ 2 int l = 2 * i; 3 int r = 2 * i + 1; 4 int smallest; 5 6 if(l <= length && A[l] < A[i]) 7 smallest = l; 8 else 9 smallest = i; 10 if(r <= length && A[r] < A[smallest]) 11 smallest = r; 12 13 if(smallest != i){ 14 int temp = A[smallest]; 15 A[smallest] = A[i]; 16 A[i] = temp; 17 min_heapify(A, length, smallest); 18 } 19 }
6.將max_heapify()函數的遞歸調用改為迭代結構，使效率提高。
1 void max_heapify(int A[], int length, int i){ 2 int l, r; 3 int largest, temp; 4 while(i <= length){ 5 l = 2 * i; 6 r = 2 * i + 1; 7 8 if(l <= length && A[l] > A[i]) 9 largest = l; 10 else 11 largest = i; 12 if(r <= length && A[r] > A[largest]) 13 largest = r; 14 15 if(largest != i){ 16 temp = A[largest]; 17 A[largest] = A[i]; 18 A[i] = temp; 19 i = largest; 20 } 21 else 22 break; 23 } 24 }
7.證明：對於一個大小為n的堆，max_heapify的最壞運行時間為Ω(lgn)。（提示：對於n個節點的堆，恰當地設置每個節點的值，使得從根節點到葉節點的路徑上的每個節點都遞歸調用max_heapify）。
假設大小為n的堆的高度為h
首先如何使得從根節點到葉節點的路徑上的每個節點都遞歸調用max_heapify？每次調用后的子樹都符合子樹的根節點小於左右兒子節點，則最初的根節點的值比所有左右兒子的值都小。接着要考慮的就是路徑-----如何使得從根節點到葉節點的路徑更長（最壞的情況）？“堆數據結構是一種數組對象，可以視為一棵完全二叉樹。樹的每一層都是填滿的，最后一層除外（最后一層從一個節點的左子樹開始填）”------《算導》原文。因此每次根節點與其左兒子節點交換，路徑會是最長的，則所有左子樹的值大於或等於右子樹。這樣設置，max_heapify會調用h次，所以運行時間為Θ(h)，即Θ(lgn)。根據大Θ符號的定義（鏈接為維基），詳細見算導第三章----函數的增長，因此的得最壞運行時間為Ω(lgn)。
8.證明：在任一含n個元素的堆中，最多有ceiling(n / 2^(h+1))個高度為h的節點。
證明為算導的答案：（答案很詳細）
9.對於一個其所有n個元素已按遞增序排列的數組A，堆排序的運行時間是多少？若A的元素呈降序呢？
遞增序排列和遞減序（降序）一樣：先建堆，運行時間為O(n)，然后將數組最后一個與第一個交換，數組大小減一，在進行max_heapify（維持最大堆的性質），依次重復操作（O(n) * O(lgn) = O(n*lgn)）
因此運行時間為O(n) * O(lgn) = O(n*lgn)
10.證明：堆排序的最壞情況運行時間為Ω(n*lgn)。
堆排序屬於比較排序，比較排序的最壞情況運行時間的下界為Ω(n*lgn)，見算導第八章第一節。
11.證明：在所有元素都不相同時，堆排序的最佳運行時間為Ω(n*lgn)。
無論數組是否已排序，都要調用n - 1次max_heapify函數，可以得最佳運行時間為Ω(n*lgn)。