第六章-總體與樣本

總體: 研究事物的總體

個體: 全體事物中的單個,叫做個體

有限總體: 總體時有限個.

無限總體: 熊踢無限個.

樣本: 從總體中抽樣(X1,...Xn),觀測值(x1,...xn)

統計量的定義: 不含任何未知參數的樣本的函數(以下X'都表示均值)

• x1 + x2 + ...+xn
• 均值: X' = 1/nΣ_i=1ⁿXi
• 未修正的樣本方差: S₀² = 1/nΣ_i=1ⁿ(Xi-X')
• 樣本的方差: S² = 1/(n-1)Σ_i=1ⁿ(Xi-X')²
• 樣本的標准差: S = (1/(n-1)Σ_i=1ⁿ(Xi-X')² )^½
• 樣本K階原點距: A^k = 1/nΣ_i=1ⁿX_i^k   A1 = X'
• 樣本K階中心距: Bk = 1/nΣ_i=1ⁿ(Xi-X')^k  B₂ = S₀²

兩個樣本的協方差: 

• S₁₂ = 1/nΣ(Xi-X')(Yi-Y')
• 相關系數: R = S₁₂/S₁S₂

樣本均值和樣本方差的性質:

• 設總體X的均值未EX = μ, 方差為DX = σ2, 樣本(X1,X2,...,Xn)來自總體X, 則:
  • EX' = μ
  • DX' = 1/nσ²
  • E(S)² = σ²

抽樣分布(統計量分布):

• 卡方分布: 若n個相互獨立的隨機變量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服從標准正態分布（也稱獨立同分布於標准正態分布），則這n個服從標准正態分布的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量，其分布規律稱為卡方分布（chi-square distribution） 
  • 定理: X1,...Xn相互獨立, 服從標准正太分布N(0,1)  Σ_i=1ⁿx_i² ~ X²(n), 自由度是由前邊變量的個數決定的
  • EX = n,   DX = 2n
  • 定理: X~ X²(n),  Y ~ X²(n),, X,Y均服從卡方分布, 且X,Y相互獨立,則X+Y ~ X²(m+n)
  • 推論: X_i ~ X²(m_i), X_i之間相互獨立, Σ_i=1ⁿX_i ~ X²(Σ_i=1ⁿm_i)
• 上α分位數: 
  • P (X² > X²_α(n)) = α
    • α就是點, X²_α :這的α是概率

t分布: 

• 定理: X ~ N(0,1)服從正太分布, Y ~ X²(n)服從卡方分布, X,Y獨立, 則X/(Y/n)^½ ~ t(n)

F分布:

• 定理: X ~ X²(n₁), Y ~ X²(n₂), X,Y均服從卡方分布, 且相互獨立, 則(X/n₁)⁄(Y/n₂) = F(n₁, n₂)
• F(n1, n2) = 1/(F(n2, n1))

正太總體下的抽樣分布

• 定理: X ~ N(μ,σ2)的正態分布, {X1, ...Xn}樣本
  • X' ~ N(μ, σ²/n)
  • (X' - μ)/(σ/n^½ )= (X' - μ)/σn^½ ~ N(0,1)
  • EX = μ
  • DX = σ²/n
  • (n-1)s²/σ² = 1/σ² = 1/σ²Σ_i=1ⁿ(xi - x')² ~ X²(n-1)  (卡方分布)
  • X' 與S²相互獨立
• 1/σ2Σ_i=1ⁿ(Xi-μ)² ~ X²(n)
• (X' - μ)/Sn^½ ~ t(n-1)
• 兩個正太總樣本: X ~ N(μ₁, σ₁²),  Y ~ N(μ₂, σ₂²)
  • [(X'-Y') - (μ1 - μ2)] / (σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)^½ 
  • (S₁²/σ₁²)/(S₂²/σ₂²) ~ F(n₁-1, n₂-1)