第六章-二次型

二次型: 變量的冪, 相乘變量的冪之和等是2的都是二次型

• 平方項: 式子中冪是2的變量
• 交叉項: 不同變量乘積的元素

二次型→矩陣表達式

• 平方項的系數直接做對角線的元素
• 交叉項的系數除以2放兩個對稱的相應位置上(x₁x₂: 就放在第1行, 第2列, 第2行,第1列的位置上)
• 二次型→矩陣表達式, X^TAX
  • A:二次型矩陣(對稱)

矩陣→二次型

• 主對角線的元素直接做為平方項的系數(對應位置, 對應系數, aii=xi²)
• 取主對角線右上角元素乘以2, 作為交叉項系數(對應位置, 對應系數)

標准型: 只有平方項,叫做標准型

• 表達式: d₁y₁²+d₂y₂²+...d_ny_n²

合同: 矩陣AB是n階方陣, 存在可逆矩陣C, 使得C^TAC=B, 那么就稱矩陣A,B合同

• 反身性: A合同A, E^TAE=A
• 對稱性: A合同B, B合同A
• 傳遞性: A合同B, B合同C, 那么A合同C
• A合同B, r(A)=r(B), C^TAC=B
• A合同B, A^T=A↔B^T=B
• A合同B, A,B可逆, 則A^-1合同B^-1
• A合同B, A^T合同B^T

總結:

• 等價: A,B同型, 存在可逆矩陣P, 使得PAQ=B
• 相似: A,B同型方陣, 存在可逆矩陣P,使得P^-1AP=B
• 正交相似: A,B同型方陣, 存在正交矩陣P, 使得P^-1AP=B   (P^-1=P^T)
• 合同: A,B同型方陣, 存在可逆矩陣P, 使得P^TAP-B

化二次型為標准形

• 配方法(先x₁, 再x₂, 再x₃..., 寫出線性替換→X=CY, 配完x₁, 后面不能出現x₁)
  • 當只有交叉項的時候, 通用方法是,令x₁=y₁-y₂, x₂=y₁+y₂, x₃=y₃, x₄=y₄
• 初等變換
  • 對A,E做同樣的初等列變換
  • 只對A做相應的初等行變換
  • A化成對角矩陣之時, E化成的就是C
• 正交替換
• 正項數: 正慣性指數
• 負項數: 負慣性指數