抽象代數的課程我是第二次上了，可是在群論部分知識點還是缺乏理解、融會和梳理，而且有一種知識點零碎無規律的感覺。我缺乏一種宏觀上俯視全局的經驗，因此被老師上課抄板書式的講課帶得“迷惘、疲勞而無所得”。這里，我希望提供一個全局的視角，將抽象代數中的群論、群表示論和一些李代數稍作梳理匯總。
注意本文完全不整理證明方法，任何結論都在課本上給出了證明。本文只是給出整體的圖像，而且會夾雜個人的形象化描述和類比，語言上算不上嚴謹。
1.群的定義
群的定義共有四條：“封結幺逆”。子群的判定有兩種。
一些常見的特殊群
- 元素數目（階數）有限的群稱為有限群，否則為無限群。
- 交換群又稱Abel群。
- 無非平凡子群的群稱為單群。
- 由一個元素生成的群稱為循環群。
- 集合S到S的全部一一對應構成一個群，稱為變換群\(A(S)\)。任何群都可以看做某集合上的變換群（Cayley定理）。這里的每個一一對應可以看成是每個排列方式。
- 有限集合（n個元素）上的變換群稱為置換群\(S_n\)，亦稱為n次對稱群，其階數為\(n!\)。
- n次對稱群\(S_n\)中全部的偶置換構成n次交錯群\(A_n\)，其階數為\(\frac{1}{2}n!\)。5次及以上的交錯群為單群。
2.群的內部結構
2.1 正規子群和商群
子群一定包含幺元。如果確定了一個群的非平凡子群，一定可以取某個該子群外的元素，構造該子群的一個傍集。傍集與子群“平行”（即元素數目相等，不相交），但是傍集並不是群。再取子群和傍集之外的元素繼續構造另一個傍集……這樣可以將大群進行“整齊的”划分，這就是Lagrange定理。任何大群中的元素都必然屬於某一個傍集（子群也算傍集）。
這些傍集實際上可以用其中的一個元素作為代表（等價類），換句話說，傍集之集可以看成是一個“低分辨率”的大群，元素被一組一組地“捏”成一個點。一個很自然的想法是這個“低分辨率”的集合（傍集之集）是否仍然是群。對於\((Ha)(Hb)=H(ab)\)這種乘法運算成立的條件顯然是任何a要能穿過H：\(aH = Ha\)。這里並不要求a和H中每個元素交換，只是要求H中的元素在任意“共軛變換”（\(g^{-1}hg\)）之后仍然能夠落在子群H中。此條件即傍集之集為群的充要條件；並且由此定義一個群的正規子群：即能夠使其傍集之集為群的子群，若傍集之集為群則稱之為商群。因此，將一個群“粗糙化”舍棄掉一些信息使其變成一個小群“商群”的方法是找一個（非平凡）正規子群；這個過程或許可以命名為一種“除法”，正規子群是“除數”。（顯然這里一定能“整除”。）
對於由群中的一個任意的子群而言，大群的所有元素可以簡單分成兩類：滿足\(aH=Ha\)的和不滿足的。將所有滿足\(aH=Ha\)的元素歸到一個集合中，這個集合就是一個群，稱為子群H的正規化子，也就是最大的包含H作為其正規子群的子群，記作\(N(H)\)。這個記號似乎可以看成是一個“函數”。
2.2 中心
一個群的運算不一定是交換的，可能在某些元素上有交換性：某些元素與其他任何元素的運算都可交換，比如幺元。這些對其他任何元素具有交換性的元素之集是一個群，稱為大群的中心。中心必定是正規子群，而且條件是在“共軛變換”下保持不動。
類似正規化子，我們也可以定義中心化子。對群的子集（注意是子集即可），取大群中所有能夠與此子集中的元素都交換的元素作為一個集合，即子集的中心化子，通常記作\(C(S)\)。仔細思考\(C(G)\)（G是大群）即為G的中心。
3.群的外部關系：群同態
群到群的映射若保持兩群的運算規則（可以理解為連同運算一起映射）即為群同態。顯然同態必然將幺元映為幺元，逆元映為逆元，子群映為子群，正規子群映為正規子群，商群映為商群。此即對應定理。
“對稱”的群同態，即一一映射，稱為群同構；而同構的兩群實際上是完全一樣的，只是元素的表示花樣不一樣罷了（所以可以視同構為“相等”）。而“非對稱”的同態，只可能將一個群投影“變小”（即像的階數變小）。這樣的同態只能將一個群投影為一個小群（滿射而非單射）或者投影為另一個更大群的一部分（單射而非滿射）。顯然“不對稱”的情況下同態會將多個元素映為一個點，例如映為像中的幺元。這些被映到幺元的元素組成一個子群，稱為同態的核（Ker）。同態的核顯然是一個正規子群，這是由像中幺元的交換性質反推得出的。對於同態\(f\)，一個群“除以”同態核\(Kerf\)就等於像\(Imf\)，此即同態基本定理。