1. 同態與理想
同態定理和正規子群在分析群的結構中起到了重要的作用，我們可以對環進行同樣的討論。若環\(R_1\)到另一個系統\(R_2\)有映射\(f:R_1\mapsto R_2\)，滿足公式（1），這樣的映射稱為同態映射。若映射為滿的，則稱\(R_1,R_2\)同態，記作\(R_1\sim R_2\)。容易證明\(R_2\)也是環，且\(R_1\)的零元、負數、單位元、逆元、可交換等性質都會映射到\(R_2\)中，但零因子卻不一定保持。
\[f(a+b)=f(a)+f(b);\quad f(ab)=f(a)f(b)\tag{1}\]
• 求證：\(Z_m\sim Z_n\)的充要條件是\(n\mid m\)。
在群中已經知道，任何同態映射都對應於一個正規子群（同態核），同樣環同態的研究可以等價到對同態核的研究。和群一樣，環同態的同態核就是\(R_2\)中零元素的原像。容易證明同態核是一個子環，正如正規子群的特殊性一樣，它也不是普通的子環。考慮零元素的歸零性，同態核一定滿足以下條件。一般地，環\(R\)中的加法子群\(N\)如果滿足以下右邊一式，它稱為環的左（右）理想，兩式都滿足的叫理想，記作\(N\trianglelefteq R\)，容易證明理想（包括左右理想）都是子環。
\[n\in N,\: r\in R\quad\Rightarrow\quad rn\in N,\: nr\in N\tag{2}\]
由定義知理想首先是加法群的子群，故它在加法下是正規子群。容易證明，加法群里到正規子群陪集的同態映射在環里也是同態映射（乘法封閉），故環的每個同態映射也與環的理想一一對應，理想擔當起了正規子群的作用。和正規子群一樣，理想不具有傳遞性，即理想的理想不一定是理想。容易證明，理想的交集還是理想，循環環的任何子環都是它的理想。對一般環\(R\)，顯然\(Ra\)和\(aR\)分別是它的左右理想。
理想是一種特殊的子環，每個環\(R\)都有\(\{0\}\)和\(R\)兩個平凡理想，其它理想叫真理想，沒有真理想的環叫單環。從理想的定義知，對任何\(n\in N\)有\(nR\subseteq N\)，相比較群來看，這個結構是“坍塌”的，由此聯想到單環和“好”的環之間一定有什么關系。好的環當然是指乘法形成群的除環和域，若它們有非零理想\(N\)，由\(aa^{-1}=1\)知\(1\in N\)，從而\(N=R\)，也就是說除環和域必定是單環。
對於任何環\(R\)，因為\(Ra\)是它的左理想，如果\(R\)沒有非平凡的左理想，則\(Ra\)為\(R\)或\(\{0\}\)。如果存在\(Ra=\{0\}\)，容易證明\(a\)的生成環為理想，從而該生成環就是\(R\)，它是一個零乘環。反之如果\(Ra=R\)總成立，即一次方程\(ya=b\)總有解，故\(R\)是一個除環。綜合以上討論，如果環沒有非平凡的左理想（或右理想），它要么為零乘環，要么為除環。
• 若\(H\trianglelefteq N\trianglelefteq R\)且\(N\)有單位元，求證\(H\trianglelefteq R\)；
• 求證：僅有有限個理想的整環是域。（提示：考察所有左理想\(Ra\)）
從前面的討論已經知道，環\(R\)的理想\(N\)的所有陪集形成一個環，它與以理想為核的同態映射的像同構，被稱為商環，記作\(R/N\)。與群論中一樣，這個結論稱為環的同態定理，它是解析環結構的基本工具。環的同態定理同樣可以得到它的三個同構定理，它們與群的同構定理非常類似，就不多做說明了。
（1）第一同構定理：\(R/\text{Ker}\:f\cong f(R)\)；
（2）第二同構定理：\(N\trianglelefteq R,\:H\leqslant R\quad\Rightarrow\quad (H+N)/N\cong H/(H\cap N)\)；
（3）第三同構定理：\(H,N\trianglelefteq R,\:N\subseteq H\quad\Rightarrow\quad R/H\cong (R/N)/(H/N)\)。
• 討論高斯整環在主理想\(\langle m+ni\rangle\)下的商群，證明其有\(m^2+n^2\)個元素，並列出代表元。（提示：先從虛數分大類，再討論整數類）
2. 特殊理想
2.1 主理想
對於環的任何子集，我們可以用它來生成最小的環和理想。容易證明，元素\(a\)生成的加法子群是個循環環，所以它就是\(a\)的生成子環。由元素\(a\)生成的理想叫一個主理想（Principal Ideal），記作\(\langle a\rangle\)，下面來看看主理想的結構。首先主理想中一定包含\(a\)生成的加法群\(\{na\}\)，要求它是理想就必須包含\(Ra,aR\)，在加法的封閉性下它們具有統一格式\(ax+by+na\)。接下來根據乘法的封閉性知，其中還必須包括\(RaR\)，它的統一格式被擴展為\(ax+by+na+\sum{x_kay_k}\)。現在你可以證明，這種形式的所有元素構成一個理想，故它就是\(a\)生成的主理想。
\[\langle a\rangle=\{ax+by+na+\sum_{k=1}^{m}{x_kay_k}\}\tag{3}\]
總結就得到主理想的每個元素具有式（3）的形式，其中\(m,n\)整數（構造步數是有限的）。在特殊情況下，會有更簡單的表達式，請自行推導。比如如果乘法可交換，則形式變為\(ax+na\)。當有單位元時，表達式可統一為\(\sum\limits_{k=1}^{m}{x_kay_k}\)。既可交換又有單位元，則簡化為\(ax\)。特別地，循環環的每個理想都是主理想。
現在再來看由多個元素生成的環，它的結構形式是復雜的，但對理想卻又比較好的結果。首先用歸納法容易證明，如果\(R_k\)為理想，則\(\sum{R_k}\)也為理想。這樣對於任何子集\(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)，\(\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle\)是一個理想，而且顯然它由\(\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)生成的最小理想，從而有下式成立。
\[\langle a_1,a_2,\cdots,a_n\rangle=\langle a_1\rangle+\langle a_2\rangle+\cdots+\langle a_n\rangle\tag{4}\]
2.2 素理想和極大理想
我們已經提到過，一般的環其實很不“完美”，有時候我們更希望研究的是整環、單環、除環或域。借助於同態定理，可以嘗試取適當的理想，將商環變得“完美”一點。首先來考慮商環\(R/N\)是整環的情景，整環首先無零因子，如果有\((a+N)(b+N)=N\)，則其中必有一個為\(N\)。展開后就得到，如果有\(ab\in N\)，則必定有\(a\in N\)或\(b\in N\)。當然整環還要求可交換，在一個交換環中，滿足以下條件的理想叫素理想。容易證明，交換環的商群\(R/N\)是整環的充要條件是\(N\)為素理想。
\[ab\in N\quad\Rightarrow \quad a\in N\:\vee\: b\in N\tag{5}\]
根據第三同構定理，要使\(R/N\)為單環，必須不能有比\(N\)更“大”的理想。准確的定義是：如果\(N\ne R\)，且除\(N,R\)外沒有包含\(N\)的理想，則\(N\)稱為\(R\)的極大理想。比較顯然，\(N\)為極大理想的充要條件是為\(R/N\)為單環。綜合前面單環的結論可知，如果\(R\)有單位元，則\(R/N\)為除環的充要條件是\(N\)為極大理想，加上可交換的條件，結論就對域也成立了。
• 求證：\(Z\)的全部素理想為\(\{0\}\)和\(\langle p\rangle\)；
• 求證：\(Z\)的極大理想只有\(\langle p\rangle\)。
3. 直和分解
3.1 直和
在群論中我們看到，直積分解是解構群的最好的方法，這個思想同樣可以應用到環中。對環\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)，容易證明集合\(R=\{(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid a_k\in R_k\}\)在以下運算下也形成環，\(R\)一般稱為\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)的外直和。\(R\)的理想\(R'_k=\{(0,\cdots,0,a_k,0\cdots,0)\mid a_k\in R_k\}\)與\(R_k\)同構，且\(R=R'_1+R'_2+\cdots+R'_n\)，而且每個元素的和分解是唯一的。
\[(a_1,a_2,\cdots,a_n)+(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)\tag{6}\]
\[(a_1,a_2,\cdots,a_n)\cdot(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(a_1b_1,a_2b_2,\cdots,a_nb_n)\tag{7}\]
鑒於以上討論，當環\(R\)有理想\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)滿足：（1）\(R=R_1+R_2+\cdots+R_n\)；（2）\(R\)中的任何元素\(a\)可以唯一表示為\(a=a_1+a_2+\cdots+a_n,(a_k\in R_k)\)。則稱\(R\)為\(R_1,R_2,\cdots,R_n\)的內直和，簡稱直和，記作\(R_1\oplus R_2\oplus\cdots\oplus R_n\)。
定義中第二個條件有更容易使用的等價形式，一個是零元素的表示法唯一，另一個是每個直和項的獨立性（公式（8））。第二個等價條件說明了直和項的無關性，即\(R_i\cap R_j=\{0\}\)，如果有\(a_i\in R_i,b_j\in R_j\)，則\(a_ib_j\in R_i+R_j\)，所以\(a_ib_j=0\)。進一步如果\(a,b\)有直和分解\(a=a_1+\cdots+a_n,b=b_1+\cdots+b_n\)，可以有公式（9）成立，即任何元素的運算都能映射到各個直和項中。直和分解是一種無關性分解，它將大的環分解為無關的小環來研究。
\[R_k\cap (R_1+\cdots+R_{k-1}+R_{k+1}+\cdots+R_n)=\{0\}\tag{8}\]
\[ab=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\tag{9}\]
3.2 理想與直和
直和分解使得我們可以在更小的理想中分別討論環的性質，現在來看看一般理想與直和分解的關系。首先考慮直和項的理想\(N\trianglelefteq R_k\)，則對任意\(n\in N\)，有\(nR=n(N_1+\cdots+N_n)=nN_k\in N\)，同理有\(Rn\in N\)。從而有\(N\trianglelefteq R\)，即直和項的理想也是直和的理想。由這個結論很容易有，直和項的理想\(N_k\trianglelefteq R_k\)的直和也是\(R\)的理想（公式（10））。
\[N_1\oplus N_2\oplus\cdots\oplus N_n\trianglelefteq R\tag{10}\]
反之對任何一個理想\(N\trianglelefteq R\)，\(N_k=N\cap R_k\)也是理想，那么\(N\)是否是\(N_k\)的直和呢？本質上只要證明任何\(n\in N\)，它的直和分解滿足\(n_k\in N\)。要使得這個性質成立，需要借助單位元\(1_k\)，\(n_k=1_kn\in N\)，故可以假設\(R\)存在單位元，使得反命題成立，因為單位元的直和分解便得到\(R_k\)的單位元。
現在的問題自然是，什么樣的環有直和分解？如何進行直和分解？假設\(R\)的特征為\(n\)，且有互質分解\(n=n_1n_2\)，我們希望\(R\)可以分解為特征值分別為\(n_1,n_2\)的直和項。由於\(n_1,n_2\)互質，則存在\(sn_1+tn_2=1\)，考察集合\(R_1=\{sn_1a\mid a\in R\}\)和\(R_2=\{tn_2a\mid a\in R\}\)。首先容易證明它們都是理想，再由於\(a=sn_1a+tn_2a\)，故有\(R=R_1+R_2\)。假設\(a\in R_1\cap R_2\)，則容易有\(n_1a=n_2a=0\)，進而得到\(a=0\)，所以\(R_1\cap R_2=\{0\}\)，從而\(R=R_1\oplus R_2\)。
最后來計算\(R_1,R_2\)的特征\(m_1,m_2\)，根據\(R_1,R_2\)的定義先有\(m_1\leqslant n_1,m_2\leqslant n_2\)，再由\(n\)是\(R\)特征有\(m_1m_2\geqslant n\)，從而\(m_1=n_1,m_2=n_2\)。至此結論得證，如果對\(n\)進行素數分解\(n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_m^{\alpha_m}\)，就可以將環分解為冪次特征的直和項（公式（11））。
\[R=R_1\oplus R_2\oplus\cdots\oplus R_m,\quad\text{Char}\,R_k=p_k^{\alpha_k}\tag{11}\]
3.3 直和的應用
先來粗略討論一下環的存在性，顯然任何階的交換環都是存在的，比如\(Z_n,Z\)。哈密爾頓環給出了無窮階非交換環的例子，我們現在想知道有限階的非交換環存在嗎？在群論中我們知道，任何有限交換群都可以按不變因子進行直和分解。對於環\(R\)的加法也有\((R,+)=\langle b_1\rangle\oplus\cdots\oplus\langle b_m\rangle\)，其中\(|b_k|\mid |b_{k+1}|\)。如果\(n=|R|\)不含高於一次的因子，則\(R=\langle b_1\rangle\)為循環環，從而是可交換的。這樣就知道，一個非交換環必定是含有有平方因子\(n=n_1^2n_2\)。
反之對這樣的\(n\)，其實也是可以構造出一個非交換環的，我們只需構造出一個非交換的\(n_1^2\)階環，它與任何\(n_2\)階環的直和便是\(n\)階非交換環。對於一個\(n_1\)階環R，考察二元組\((x,y)\)集合，定義加法和乘法如下，容易證明該集合在定義的加法和乘法下構成非交換環。至此就得到了有限階非交換環存在的充要條件是，環的階含有平方因子。
\[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2),\quad (x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_2+y_2)(x_1,y_1)\tag{12}\]
最后我們用環的語言來描述“中國剩余定理”，回顧定理的內容：若\(m_1,m_2,\cdots,m_n\)互質，則方程組\(x\equiv a_k\pmod{m_k},(k=1,2,\cdots,n)\)在模\(m_1m_2\cdots m_n\)下有且僅有一個解。站在環的角度，\(m_k\)的同余類是一個主理想環，因此考察環\(R\)的理想\(I_1,I_2,\cdots,I_n\)。\(m_i,m_j\)互素可以說成是\(I_i\oplus I_j=R\)，而要證的結論則是公式（13）。
\[R/\cap I_k\cong R/I_1\times R/I_2\times\cdots\times R/I_n\tag{13}\]
首先容易驗證\(R\to R/I_1\times R/I_2\times\cdots\times R/I_n\)是同態映射，如果能證明它是滿射，由同態基本定理可以得到結論。證明方法和初等數論中本質是一樣的，我們需要為每一維構造\(r_k=(\cdots,0,a_k,0\cdots)\)。這個條件等價於\(r_k\in a_k+I_k\)且\(r_k\in (\prod{I_i})/I_k\)，或者說\(R=I_k+(\prod{I_i})/I_k\)。如果環有單位元，該等式可以從\(R=I_i+i_j\)輕易推得，故結論得證。